Demostrar que el polinomio $(x-1)(x-2)\cdots(x-n) + 1$ , $ n\ge1 $ , $ n\ne4 $ es irreducible sobre $\mathbb Z$

Question

Intento resolver este problema. Parece que me acerco al final pero no consigo llegar a la conclusión. Puede alguien ayudarme a completar mi prueba. Gracias

Demuestre que el polinomio $h(x) = (x-1)(x-2)\cdots(x-n) + 1$ es irreducible sobre $\mathbb Z$ para todos $n\ge1$ y $ n\ne4$ .

Supongamos que $h(x) = f(x) g(x)$ entonces debemos tener $f(i)g(i) = 1$ para todos $i = 1,2,...n$ . Así que ambos $f(i)$ y $g(i)$ son $1$ ou $-1$ . En cualquier caso, $m(x) = f(x) - g(x)$ tiene un grado menor que $n$ y tienen $n$ diferentes raíces ( $1,2,...,n$ ). Así que debemos tener $m(x) = 0$ . Entonces $h(x) = f(x)^{2}$ . Así que $n$ debe ser par. Sea $n = 2k$ . Porque $f(x)$ tiene grado $k$ hay $k$ valores de $\{1,2,...,2k\}$ en el que $f(x)$ es $1$ y $k$ valores a los que $f(x)$ es $-1$ .

Aquí es donde me quedé atascado. Espero que alguien pueda ayudarme a resolverlo. Gracias.

Answer 1

Como sugiere @Calvin Lin, escribo aquí la respuesta completa para quien la necesite.

De mi deducción anterior, debemos tener $h(x) = f(x)^{2}$ . Y hay $k$ valores de $\{1,2,...,2k\}$ en el que $f(x)$ es $1$ y $k$ valores a los que $f(x)$ es $-1$ .

Sea $I$ es un subconjunto de $\{1,2,...,2k\}$ consta de elementos en los que $f(x)$ es $1$ y $J$ es un subconjunto de $\{1,2,...,2k\}$ consta de elementos en los que $f(x)$ es $-1$ . Es fácil ver que si $n = 2$ entonces $h(x)$ es irreducible, y $n \neq 4$ por lo que nos limitaremos a considerar el caso $n \ge 6$ lo que significa que $k \ge 3$ .

Supongamos que $I$ consiste en $1$ . $J$ tiene al menos $3$ elementos distintos mayores que $1$ por lo que existe un elmento $u$ en $J$ tal que $u - 1 \ge 3$ . Pero debemos tener $u - 1 | f(u) - f(1) = -2$ contradicción.

Answer 2

Para $n\geq 7$ la irreducibilidad se deduce del siguiente criterio de Pólya (véase Polinomios de Prasolov).

(Pólya). Sea $f$ sea un polinomio de grado $n$ con coeficientes enteros y definir $m=\lfloor\frac{n+1}{2} \rfloor$ . Supongamos que, para $n$ diferentes números enteros $a_1,\dots,a_n$ tenemos $|f(a_i)|<2^{-m}m!$ y los números $a_1,\dots,a_n$ no son raíces de $f$ . Entonces $f$ es irreducible.

Elija $a_i=i$ y para $n \geq 7$ la reclamación sigue.