Esto parece ser un "problema de estrellas y barras" - sin embargo no estoy seguro de cómo aplicar una restricción. Además, me gustaría entender cómo se haría tanto en las funciones de recuento como en las de generación.
La cuestión: Hay 5 parejas de hermanos. Tengo 10 muñecas Barbie idénticas y 10 coches de juguete idénticos. ¿De cuántas maneras se pueden distribuir las muñecas Barbie entre las niñas y los coches de juguete entre los niños de forma que cada uno reciba un regalo y cada pareja de hermanos tenga al menos 3 regalos?
Esto es lo que tengo con el recuento: Como cada niño tiene que recibir un juguete al igual que cada niña, quedan 5 coches de juguete y 5 muñecas barbie para repartir. Esto nos lleva a $$ (5+5-1)C(5-1))^{2} $$ ya que hay 5 juguetes y 5 niños (considerándolos como "papeleras") y lo mismo con las niñas, por lo que multiplicando estas dos combinaciones dará el número total de combinaciones entre ambos.
Sin embargo, la siguiente parte me da más problemas, ya que no estoy seguro de cómo poner la restricción de que cada pareja de hermano-hermana tiene que tener 3 regalos. Ahora sabemos que cada pareja tiene al menos 2 regalos, ya que todos recibieron uno. Así que si cada pareja recibiera 3 regalos, habría un total de 15 regalos que tienen distribuciones establecidas. Ahora no nos importa si la pareja hermano-hermana recibe un juguete de niña extra o un juguete de niño, así que tenemos 5 juguetes totales que se pueden distribuir. ¿Tendríamos entonces 5 parejas (bins) y 5 juguetes de forma que de nuevo tendríamos $$ (5+5-1)C(5-1)) $$ formas de distribuir los 5 juguetes restantes, lo que nos da un total de
$$ (5+5-1)C(5-1))^{3} $$ formas de hacerlo?
¿Qué debo hacer para generar funciones? Supongo que partiría de la base de que, como cada niño recibe un juguete, tendría 5 coches y 5 muñecas para repartir entre los niños y las niñas respectivamente. Entonces tendría, además de que cada pareja recibe 3 juguetes (¿x^3?) así:
$$(x^{1}+x^{2}+x^{3}+x^{4}+x^{5})(x^{1}+x^{2}+x^{3}+x^{4}+x^{5})$$
Sin embargo, no veo cómo añadir la restricción de que la pareja hermano-hermana obtenga al menos 3 juguetes, ni qué coeficiente de la función generadora hay que buscar. Sin embargo, veo que lo anterior se puede reducir a:
$$x^{2}(x^{0}+x^{1}+x^{2}+x^{3}+x^{4})(x^{0}+x^{1}+x^{2}+x^{3}+x^{4}) = x^{2}(1-x^{5}/(1-x))^{2}$$
No sé qué hacer a partir de ahora.
Gracias por cualquier ayuda,
Brian
