Sea $u_n$ sea una secuencia acotada en $W_{0}^{1,p}(\Omega)$ . Entonces hasta una subsecuencia se tiene $$ u_n\to u \mbox{ weakly in}\,W_{0}^{1,p}(\Omega). $$ ¿En qué sentido es cierta la siguiente afirmación? $$ \int_{\Omega}|\nabla u_n|^{p-2}\nabla u_n\cdot\nabla\phi\,dx\to\int_{\Omega}|\nabla u|^{p-2}\nabla u\cdot\nabla\phi\,dx\,\,\forall\,\phi\in{C_c^{\infty}(\Omega)}. $$
Respuestas
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gerw
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No creo que esto sea cierto. Esto podría ser un contraejemplo: Sea $\Omega = (0,1)$ y $$ f_n(x) := \begin{cases} 0 & x < \frac12 \text{ and } \sin(4 \, \pi \, n\, x) > 0 ,\\ 2 & x < \frac12 \text{ and } \sin(4 \, \pi \, n\, x) \le 0, \\ -1 & x \ge \frac12. \end{cases} $$ Fijamos $u_n(x) = \int_0^x f(t) \mathrm{d}t$ . Se puede comprobar que $u_n \in W_0^{1,p}(\Omega)$ para todos $p \in (1,\infty)$ y $u_n \rightharpoonup u$ para $$u(x) = \begin{cases} x & x \le \frac12, \\ 1-x & x \ge \frac12.\end{cases}$$ Sin embargo, $$ \int_0^1 |\nabla u_n|^{p-2} \nabla u_n \cdot\nabla\varphi \, \mathrm{d}x \to 2^{p-2} \, \int_0^{\frac12} \nabla\varphi \,\mathrm{d}x - \int_{\frac12}^1 \nabla\varphi\,\mathrm{d}x = (2^{p-2} + 1)\, \varphi(\frac12)\\ \ne 2 \, \varphi(\frac12) = \int_0^1 |\nabla u|^{p-2} \nabla u \cdot\nabla\varphi \, \mathrm{d}x $$ a menos que $p = 2$ .
Marvin F.
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Elija $q$ tal que $1/p+1/q=1$ . Entonces $(p-1)q=p$ y por lo tanto,
$$\||\nabla u_n|^{p-2} \nabla u_n\|_{q}^q=\int_\Omega ||\nabla u_n|^{p-2} \nabla u_n|^q dx=\int_\Omega |\nabla u_n|^p \leq C. $$
En consecuencia $|\nabla u_n|^{p-2} \nabla u_n \rightharpoonup |\nabla u|^{p-2} \nabla u$ débilmente en $L^q(\Omega)$ y el resultado es el siguiente.
