Resolución de una EDP con la ecuación de Poisson

Question

Nuevo en PDEs. Este se resuelve aparentemente con la ecuación de Poisson pero no tengo ni idea de cómo. Agradecería cualquier ayuda.

$$u_t=u_{xx}+e^{-t}\sin t$$ y $$u|_{t=0}=e^{-x^2}$$

Answer 1

Pista: La forma en estado estacionario de esta ecuación es la ecuación de Poisson 1D.

Answer 2

He aquí un enfoque:

Podemos escribir $u(x,t)$ en términos de transformada de Fourier,

$$ u(x,t)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^\infty e^{ikx} \hat{u}(k,t) dk, $$

Sustituyendo esto en la EDP obtenemos, $u_t-u_{xx}=e^{-t}\sin(t)$ obtenemos,

$$ \frac{d}{dt} \hat{u}_k(t) - k^2 \hat{u}_k = \color{blue}{0} + \color{green}{e^{-t}\sin(t)}$$

$$ \Rightarrow \hat{u}(k,t) = \color{blue}{c(k) e^{k^2 t}}+\color{green}{\frac{e^{-t}e^{it}}{2i(-1+i-k^2)} -\frac{e^{-t}e^{-it}}{2i(-1-i-k^2)}}. $$ Tenemos que $u(x,0) = e^{-x^2}$ se puede escribir como,

$$ u(x,0)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^\infty e^{ikx} \color{red}{\frac{1}{\sqrt{2}} e^{-k^2/4} } dk, $$

que nos dice que,

$$\color{blue}{c(k)} = \color{red}{\frac{1}{\sqrt{2}}e^{-k^2/4}}- \left(\color{green}{\frac{1}{2i(-1+i-k^2)} -\frac{1}{2i(-1-i-k^2)}}\right).$$

Sólo queda evaluar la integral,

$$ u(x,t)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^\infty e^{ikx} \hat{u}(k,t) dk. $$