Cómo demostrar la desigualdad de triángulo para $p$ -¿Norma?

Question

Si $\mathcal{M}=\{M_i : i\in I_n\}$ es una colección de espacios métricos, cada uno con métrica $d_i$ podemos hacer $M=\prod_{i\in I_n}M_i$ un espacio métrico utilizando la $p$ -simplemente establecemos $d : M\times M\to \mathbb{R}$ como:

$$d((p_1,\dots,p_n),(q_1,\dots,q_n))=\left\|(d(p_1,q_1),\dots,d(p_n,q_n))\right\|_p$$

Lo que quiero demostrar es que el $p$ -norm

$$\left\|x\right\|_p=\left(\sum_{i=1}^{n}\left|x_i\right|^p\right)^{1/p}$$

es realmente una norma. Demostrando que $\left\|x\right\|_p \geq 0$ siendo cero si y sólo si $x = 0$ fue fácil. Demostrando que $\left\|kx\right\|_p = \left|k\right|\left\|x\right\|_p$ también fue fácil. La desigualdad del triángulo es lo que no está siendo fácil de demostrar. En efecto, quiero demostrar que: para cada $x,y \in \mathbb{R}^n$ que tenemos:

$$\left(\sum_{i=1}^{n}\left|x_i+y_i\right|^p\right)^{1/p}\leq \left(\sum_{i=1}^{n}\left|x_i\right|^p\right)^{1/p}+\left(\sum_{i=1}^{n}\left|y_i\right|^p\right)^{1/p}.$$

Pensaba que no sería tan difícil como parece, pero después de intentarlo un poco sin éxito he buscado en internet y he encontrado que necesitamos teoría de la medida para demostrarlo. ¿Hay alguna prueba más elemental de esta desigualdad?

Answer 1

(Aprendí de Terry Tao la siguiente prueba, que aprovecha una simetría simplificar la tarea de probar una estimación normalizando uno o más factores inconvenientes para igualar $1$ .)

Asumo aquí que $1\leq p<\infty$ . Queremos demostrar que $$ \|x+y\|_p\leq\|x\|_p+\|y\|_p\tag{*} $$ Cuando el RHS es $0$ la prueba es trivial. Supongamos que es positivo. Por homogeneidad $\|cx\|_p=|c|\|x\|_p$ podemos reducir al caso $\|x\|_p=1-\lambda$ y $\|y\|_p=\lambda$ para algunos $0\leq\lambda\leq 1$ . Los casos $\lambda=0,1$ son triviales, así que supongamos $0<\lambda<1$ . Escribir $X:=x/(1-\lambda)$ y $Y:=y/\lambda$ reducimos a la estimación de convexidad: $$ \|(1-\lambda)X+\lambda Y\|_p\leq 1\quad\text{whenever } \|X\|_p=\|Y\|_p=1\ \text{and }0\leq\lambda\leq 1. $$ Pero como $z\mapsto|z|^p$ es convexa para $p\geq 1$ tenemos el límite de convexidad por coordenadas $$ |(1-\lambda)X_i+\lambda Y_i|^p\leq (1-\lambda)|X_i|^p+\lambda |Y_i|^p. $$ Resumiendo $i$ de $1$ a $n$ obtenemos $$ \|(1-\lambda)X+\lambda Y\|_p^p\leq 1 $$ por lo que se deduce la afirmación.

Obsérvese que esta demostración es válida para la abstracción general $L^p$ espacios también.

Answer 2

Si te refieres a $$ \left\|x\right\|_p=\left(\sum_{i=1}^n\left|x_i\right|^{\color{#C00000}{p}}\right)^{1/p}\tag{1} $$ entonces Desigualdad de Minkowski es la desigualdad triangular para el $p$ -norm.

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Dualidad

Obsérvese que por la desigualdad de Hölder, si $\|y\|_q=1$ donde $\frac1p+\frac1q=1$ tenemos $$ \left|\sum_{i=1}^nx_iy_i\right|\le\|x\|_p\tag{2} $$ Además, si $y_i=\frac{\bar{x}_i|x_i|^{p/q-1}}{\|x\|_p^{p/q}}$ entonces $\|y\|_q=1$ y $$ \sum_{i=1}^nx_iy_i=\|x\|_p\tag{3} $$ $(2)$ y $(3)$ demostrar que $$ \|x\|_p=\sup_{\|y\|_q=1}\left|\sum_{i=1}^nx_iy_i\right|\tag{4} $$ $(4)$ dice que $\ell^p$ es el dual de $\ell^q$ .

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Prueba de dualidad de la desigualdad de Minkowski $$ \|x+y\|_p =\sup_{\substack{\|u\|_q&=1\\\|v\|_q&=1\\u&=v}}\sum_{i=1}^nx_iu_i+y_iv_i \le\sup_{\substack{\|u\|_q&=1\\\|v\|_q&=1}}\sum_{i=1}^nx_iu_i+y_iv_i =\|x\|_p+\|y\|_p\tag{5} $$ La desigualdad se debe a que el $\sup$ a la izquierda se está tomando sobre un subconjunto de los pares $(u,v)$ sobre la que $\sup$ a la derecha.