Coeficientes de expansión de Laurent de $\exp\left(\frac{z}{1-z}\right)$

Question

Dada la función $f(z)=\exp\left(\frac{z}{1-z}\right)$ quiero encontrar los coeficientes $a_0$ , $a_{-1}$ y $a_{-2}$ de la expansión de Laurent $f(z)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}a_n(z+1)^n$ acerca de $z=-1$ en el anillo $\{z\in\mathbb{C}:|z+1|>2\}$ .

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Sabemos que la serie de potencias para $\exp(z)$ centrado en $z=-1$ es $\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(z+1)^n}{e\cdot n!}$ Así que \begin{align*} \exp\left(\frac{z}{1-z}\right) &= \sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{e\cdot n!}\left(\frac{z}{1-z}+1\right)^n\\ &= \sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{e\cdot n!}\left(\frac{1}{1-z}\right)^n\\ &= \sum_{n=-\infty}^0\frac{(-1)^n}{e\cdot (-n)!}(z-1)^n \end{align*}

Pero esto nos da la serie de Laurent de f(z) centrada en 1 que no parece ser útil.

Answer 1

Dejar $z = w - 1$ se desea la expansión de Laurent de $e^{w-1 \over 2 - w}$ en $|w| > 2$ . Observando que ${w -1 \over 2 - w} = -1 - {1 \over w - 2}$ está buscando la expansión Laurent de $e^{-1}e^{-{1 \over w - 2}}$ en $|w| > 2$ .

Cambiando de nuevo las variables, esta vez a $v = {1 \over w}$ está buscando la expansión Taylor de $e^{-1}e^{v \over 2v - 1} = e^{-{1 \over 2}}e^{1 \over 4v - 2}$ en $|v| < {1 \over 2}$ . Así que $a_0 = e^{-1}$ y puedes encontrar $a_1$ y $a_2$ tomando las dos primeras derivadas de $e^{-{1 \over 2}}e^{1 \over 4v - 2}$ en $v = 0$ .

Answer 2

Similar a la respuesta de José Carlos Santos

Sea $$z=x-1\implies \frac z {1-z}=\frac{1-x}{x-2}=-\frac 12 + \sum_{n=1}^\infty 2^{-(n+1)} x^n$$ que hacen $$e^{\frac{1-x}{x-2}}=\frac{1}{\sqrt{e}}\left(1+\frac{x}{4 }+\frac{5 x^2}{32 }+\frac{37 x^3}{384 }+\frac{361 x^4}{6144 }\right)+O\left(x^5\right)$$ El numerador de los coeficientes corresponde a la secuencia $A025168$ en $OEIS$ y el denominador de los coeficientes es simplemente $4^n n!$ .

Sustituir $x$ por $(z+1)$ .