He Cálculo 2 de fondo, así que por favor trate de mantener sus respuestas en torno a ese nivel. Yo inly quieren una breve explicación.
De qué se trata, $\sin (\sin x)$ que hace difícil integrar? También, ¿qué nos hace pensar que expresamos $\int \sin (\sin x) dx$ en términos de las funciones ya conocidas? Me imagino que si pensamos que no podemos expresar en funciones conocidas, entonces nosotros ya hemos dado un nombre que lo define como una función especial con su propio nombre.
Así que usted puede hacer
$$\int_0^{\pi}{\sin(\sin x)} = \pi H_0(1)\,,$$ where $H$ es un no-elemental función conocida como la Struve función. (Para más información sobre funciones de Struve, ver http://mathworld.wolfram.com/StruveFunction.html.)
Te estarás preguntando...¿qué bien hace para expresar la integral en términos de una función que casi nadie ha oído hablar de?
Bien, piense de nuevo a mucho tiempo atrás, cuando el seno, el coseno y la tangente funciones eran tan arcano como Struve funciones son ahora. Un estudiante de matemáticas podría haber pedido una pregunta análoga a la suya, diciendo: "¿por Qué no tiene a nadie a sido capaz de integrar la $\int{{dx\over 1+x^2}}$? Los especialistas en el momento en que habría dicho: "en Realidad, se ${\it can}$ evaluar la integral:
$$\int{{dx\over 1+x^2}} = \tan^{-1} x\,.$$
Si el estudiante fuera a decir, "Qué bueno ¿que hacer?" Los expertos han dicho, bueno, esto es útil porque tenemos estos libros con los valores de la tangente de la función escrita en ellos. Así que efectivamente hemos hecho "integral" porque sabemos que el libro de mirar.
Igualmente hoy, ayuda a expresar la integral de la $\int_0^{\pi}{\sin(\sin x)}$ $\pi H_0(1)$ porque ahora sabemos que el libro a la vista. (Probablemente Abramowitz y Stegun ${\it Handbook\ of\ Mathematical\ Functions}$, que solía usar mucho cuando yo era un físico matemático.) Más comúnmente, programas como Mathematica de tener todos los valores pre-cargado, junto con esquemas de aproximación para el cómputo de los valores precisos por interpolación.
Y usted sabe, que todo su calculadora está haciendo cuando se calcula el $\sin x$, de todos modos. Una vez que esté más allá de las funciones polinómicas, que está bastante en este territorio.
Los problemas de la integración se obtiene en el Cálculo 2 integrands especialmente diseñadas para admitir lo suficientemente simples de forma cerrada antiderivatives. En el platónico mundo de las matemáticas, integrands son más propensos a tener horrendo aspecto antiderivatives que luzca limpio, y mucho más probable aún no tiene ningún primaria de forma cerrada. Tenemos que ser selectivos acerca de la definición de funciones especiales: el zoológico es demasiado grande para el nombre de todos los no-funciones elementales, así que tenemos que escoger los que (una) girar a la mayoría, (b) son los más interesantes, y (c) tener la mayor utilidad.
En mi experiencia, la mayoría de las funciones especiales en el contexto de las ecuaciones diferenciales, teoría de números y combinatoria (con análisis complejo como un dado). La mayoría de la clase general de función especial de la que soy consciente de que es en realidad una familia de ellos, multivariable funciones hipergeométricas, que se define a través de series infinitas expansiones con proporciones de aumento de los factoriales como coeficientes.
El hypergeometrics son ampliamente aplicables porque aparentemente casi cualquier función primaria y muchos no-funciones elementales y sus madres y los perros pueden ser expresadas como uno. Para un ejemplo más sencillo de cómo una sola función especial puede "cubrir extra territorio" que en un principio cabría conjeturar, considere la función W de Lambert. Es la inversa de a $xe^x$. Por lo $W(xe^x)=x$, ignorando las cosas técnicas como cortes de ramas en el plano complejo. Inicialmente, el único tipo de ecuación parece ser útil para el es $xe^x=a~\Rightarrow~ x=W(a)$. Sorprendentemente, algunos muy simples manipulaciones permitir cosas como $e^x+x=a$ a resolver (restar $x$ desde ambos lados, se multiplican ambos lados por $e^{a-x}$, ????, de lucro). Queremos que nuestras funciones especiales para la más amplia aplicabilidad, todo lo demás igual.
Muchas funciones elementales (las expresiones obtenidas a través de la escuela primaria operaciones aplicadas a las composiciones de exponenciales, logaritmos, trigonemtric y funciones trigonométricas inversas - si trabajamos con variables complejas, los dos últimos son casos especiales de los dos primeros) que nos encontramos no tiene una escuela primaria antiderivada. Y hemos visto que queremos que haya algo de estrategia en el cual de estos podemos escoger para definir como funciones especiales. No es sólo que aún no hemos encontrado antiderivatives y la sospecha de que no hay ninguna, podemos demostrar que no hay ninguna.
Algunos ejemplos son los $e^{e^x}$$e^{-x^2}$. Creo $\sin\sin x$ es otro ejemplo, pero no puedo encontrar una fuente y yo no estoy familiarizado con la maquinaria necesaria para determinar si es. Una heurística o de la regla de oro es que componer exponenciales o funciones trigonométricas está caminando sobre una cuerda floja a la hora de tener primaria antiderivatives. Tal vez la razón de $\int \sin\sin xdx$ no tiene nombre es que no es algo que realmente en la práctica. Sin embargo, resulta que hay algunos casos de funciones trigonométricas compuestas con funciones trigonométricas se producen "en la naturaleza". Las funciones especiales que se necesitan para esta situación son las funciones de Bessel (que aparecen en otra respuesta aquí).
Hay históricamente alguna otra imposibilidad de los problemas que se han activado. Los antiguos podría bisecar un ángulo, pero no podía trisect uno. A la vuelta de la $18$th siglo, podríamos resolver cúbicas y cuárticas, pero no podía resolver un general quintic. El de Abel-Ruffini teorema demostrado la imposibilidad de resolver genérico de quinto grado o superior polinomios mediante radicales. Galois desarrolló su teoría de la simetría de las ecuaciones que explican por qué esto era cierto. Resulta que la imposibilidad de trisecting ángulos es un corolario de la teoría de Galois. Muy oportunamente, el tema actual en la que se aborda la imposibilidad de la integración de algunas funciones elementales es un fruto llamado diferencial de la teoría de Galois. Hay varios teoremas y algoritmos de importancia aquí; ver este hilo.
(Con lo suficientemente general funciones hipergeométricas uno puede exactamente resolver polinomios arbitrarios.)
La verdadera pregunta aquí es, entonces, ¿por qué es tan fácil diferenciar y tan difícil de integrar? Hay varias reglas para diferenciar las cosas como productos y composiciones. El más cercano reglas producto de las integrales es por partes , el más cercano a la regla de la cadena para las integrales es la sustitución. ¿Por qué la asimetría?
Esta misma pregunta fue planteada aquí. Mi favorito, la respuesta es que las operaciones locales son más fáciles de operaciones globales (diferenciación es local y la integración global).
Si la vista de la integral por la serie de enfoque, usted encontrará que la integral se puede resolver muy fácilmente:
Para la serie de maclaurin de $\sin x$ , $\sin x=\sum\limits_{n=0}^\infty\dfrac{(-1)^nx^{2n+1}}{(2n+1)!}$
$\therefore\int\sin(\sin x)~dx=\int\sum\limits_{n=0}^\infty\dfrac{(-1)^n\sin^{2n+1}x}{(2n+1)!}dx$
Ahora para $\int\sin^{2n+1}x~dx$ donde $n$ es cualquier entero no negativo,
$\int\sin^{2n+1}x~dx$
$=-\int\sin^{2n}x~d(\cos x)$
$=-\int(1-\cos^2x)^n~d(\cos x)$
$=-\int\sum\limits_{k=0}^nC_k^n(-1)^k\cos^{2k}x~d(\cos x)$
$=\sum\limits_{k=0}^n\dfrac{(-1)^{k+1}n!\cos^{2k+1}x}{k!(n-k)!(2k+1)}+C$
$\therefore\int\sum\limits_{n=0}^\infty\dfrac{(-1)^n\sin^{2n+1}x}{(2n+1)!}dx=\sum\limits_{n=0}^\infty\sum\limits_{k=0}^n\dfrac{(-1)^{n+k+1}n!\cos^{2k+1}x}{k!(n-k)!(2n+1)!(2k+1)}+C$
Si no te gusta el símbolo de la adición, usted puede expresar el resultado anterior en el plazo de los Kampé de Fériet función.
Podemos expresar la función en términos de funciones conocidas, si el uso de energía de la serie (que normalmente es enseñado en la final de Cálculo 2). No sé de un nombre en particular para la función que representa esta expansión (o uso) pero si encuentras una aplicación normal en algún lugar, siéntase libre de llamar algo pegadizo. La siguiente aproximación para la alimentación de la serie de la antiderivada de $\sin(\sin(x))$: $$\int \sin(\sin(x)) dx = C+x^2/2-x^4/12+x^6/60-x^8/315+ \ldots$$
Este es el resultado de la integración de plazo para-plazo el poder de expansión de la serie $$\sin(\sin(x))=x-x^3/3+x^5/10-(8 x^7)/315+\ldots$$
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