¿Cómo obtengo la identidad $\sin(a+b)=\sin(a)\cos(b) + \cos(a)\sin(b)$ utilizando el círculo unitario

Question

Me gustaría que se explicara a través del círculo unitario ya que me parece que las identidades trigonométricas son mucho más fáciles de entender de esta manera.

EDIT: Sé que tienes que aplicar la identidad $\sin(x)=\cos(90-x)$ pero me pregunto cómo visualizar todo esto en el círculo unitario.

Answer 1

Este es la prueba de $\cos(a+b)=\cos a \, \cos b - \sin a \, \sin b$ .

Véase también prueba .

Answer 2

Utilizar los números complejos y la forma exponencial quizá ayude (al menos algebraicamente) a digerir estas fórmulas trigonométricas de adición:

Todo lo que tenemos que saber es $\cos a+i\cdot\sin a=e^{ai}$ para cualquier $a\in\Bbb R$ y que $i^2=-1$ y que $e^{x+y}=e^x\cdot e^y$ para cualquier $x,y\in\Bbb C$ . A continuación, calcula ambos lados de $e^{(a+b)i}=e^{ai}e^{bi}$ .

Si lo prefieres, en su lugar, puedes utilizar las matrices de rotación: $$R_a:=\pmatrix{\cos a&-\sin a\\ \sin a &\cos a}$$ y utilizar la multiplicación de matrices para verificar las identidades, sabiendo que $$R_{a+b}=R_a\cdot R_b \ .$$

Answer 3

Este el vídeo aclarará las cosas de maravilla. Asegúrate de verlo, y luego el siguiente.

Answer 4

La explicación dada por eepsmedia aquí es lo que está buscando. Aunque su argumento da la fórmula de adición del coseno, y sólo en el caso en que $\alpha+\beta < \pi/2$ deberías poder utilizar los mismos métodos para obtener la fórmula de adición del ángulo seno.

Answer 5

Si el lector sabe un poco de cálculo, tenemos una prueba elegante de esta identidad. Sea $$ f(x) = \sin(x + b) - \sin x\cos b - \sin b\cos x \ \Rightarrow $$ $$ f^{\prime}(x) = \cos(x + b) - \cos x \cos b + \sin b \sin x = \cos(x + b) - \cos(x + b) = 0 $$ desde $\cos(x + b) = \cos x \cos b - \sin b \sin x$ . Así, $$ f(x) = \sin(x + b) - \sin x\cos b - \sin b\cos x = C, \quad C \in \mathbb{R} $$ Para $x = 0$ tenemos $C = 0$ . En particular, en $x = a$ , $$ \boxed{\sin(a + b) = \sin a\cos b + \sin b\cos a} $$