Conjuntos convexos en $\mathbb R$

Question

Hasta el homeomorfismo, ¿cuántos conjuntos convexos hay en $\mathbb R?$

Mi punto de vista: En $\mathbb R,$ hay cuatro tipos de conjuntos convexos. $i.e.,(a,b),[a,b],[a,b),(a,b],$ donde $ a,b \in \mathbb R.$

Puesto que la imagen continua de un conjunto compacto es compacta, $(a,b)$ y $[a,b]$ no son homeomórficas. Así que $\mathbb R$ tiene al menos dos conjuntos convexos hasta el homeomorfismo.

¿Cómo seguir adelante?

Gracias de antemano

Answer 1

El único compacto es $[a,b]$ . Tenga en cuenta que si elimina algún punto de $(a,b)$ el resultado no está conectado. Esto no ocurre con $(a,b]$ Así que $(a,b)$ y $(a,b]$ no son homeomóficos. Está claro que $(a,b]$ y $[a,b)$ son homeomórficas.

Entonces: tres.