Permítanme añadir un enfoque análogo que funciona para los espacios topológicos. Necesitamos introducir un concepto adicional que es básicamente una generalización de las secuencias para espacios topológicos.
Sea $S$ sea un conjunto dirigido (reflexivo, transitivo y cualquier par de elementos tiene un límite superior) y sea $X$ sea un espacio topológico. Entonces una red es una función $x: S \rightarrow X$ . A menudo utilizamos la notación $x_{\alpha}$ en lugar de $x(\alpha)$ para que la evaluación refleje la notación utilizada para las secuencias. Y decimos que una red converge a un punto $x \in X$ cuando para todos los barrios de $x$ $N_{x}$ existe un $\alpha_{0}$ tal que
$$\left \{ x_{\alpha}:\alpha \geq \alpha_{0} \right \} \subset N_{x}.$$
Denotamos este hecho por $x_{\alpha} \rightarrow x$ .
De este modo, podemos caracterizar los conjuntos cerrados de los espacios topológicos generales de forma "secuencial". Comparemos las dos caracterizaciones que pueden utilizarse:
- En un primer espacio contable (todo espacio métrico es primer contable), $A$ es cerrada si para cada secuencia $(x_{n}) \subset A:x_{n} \rightarrow x$ tenemos $x \in A$ .
- En un espacio topológico (no se necesitan supuestos adicionales de separación), $A$ es cerrado si para cada red $(x_{\alpha}) \subset A:x_{\alpha} \rightarrow x$ tenemos $x \in A$ .
Nótese que también tenemos un teorema para redes que afirma que podemos intercambiar una función continua y la operación de limitación. Por lo tanto, nos permite hacer exactamente (notación sabia) lo que 1LiterTears hizo en el post inicial (considerar la misma configuración, sólo reemplazar la secuencia con la red):
$$\text{lim}f(x_{\alpha}) = f(\text{lim}x_{\alpha})=f(x).$$
Por supuesto, esto también nos permite obtener el "mismo resultado" si sustituimos secuencia por red en la sentencia inicial.
En resumen, las redes son una forma estupenda de pasar de los primeros espacios contables a los espacios topológicos generales sin dejar de reciclar algunos de los "argumentos estándar" del análisis.
