Condiciones para que se cumpla el teorema de desintegración

Question

El teorema de la desintegración dice que bajo ciertas condiciones, una medida de probabilidad $\mu$ en un espacio medible $$ la existencia de

Sea $Y$ y $X$ sean dos espacios de Radon (es decir, espacios métricos separables separables en los que toda medida de probabilidad es una medida de Radon). Sea $ P(Y)$ , dejemos que $ : Y X$ sea una función medible por Borel sea $ P(X)$ sea la medida pushforward de $Y$ a $X$ por $$. Then there exists a $$ -casi en todas partes de forma única medidas de probabilidad $\{_x\}_{xX} P(Y)$ tal que

• la función $x \mapsto \mu_{x}$ es medible en Borel, en el sentido de que $x \mapsto \mu_{x} (B)$ es una función medible por Borel para cada
  Conjunto medible por el taladro $B Y$ ;
• $_x$ vive en la fibra $^{-1}(x)$ para $$-almost all $ x X $, $$ \mu_{x} \left( Y \setminus \pi^{-1} (x) \right) = 0, $$ and so $ \mu_x(E) = \mu_x(E \cap \pi^{-1}(x));$
• para toda función medible por Borel $f : Y [0, +]$ , $$\int_{Y} f(y) \, \mathrm{d} \mu (y) = \int_{X} \int_{\pi^{-1} (x)} f(y) \, \mathrm{d} \mu_{x} (y) \mathrm{d} \nu (x).$$

1. Me preguntaba si las medidas de probabilidad pueden relajarse a medidas en el teorema de desintegración?

2. cuando $Y = X_1 × X_2$ y $_i : Y X_i$ es el proyección podemos aplicar el teorema de desintegración, y obtener el resultado

   cada fibra $_1^{-1}(x1)$ puede identificarse canónicamente con $X_2$ y existe una familia de Borel de medidas de probabilidad $\{ \mu_{x_{1}} \}_{x_{1} \in X_{1}}$ en $P(X_2)$ ( $(_1)()$ - en casi todas partes unívocamente determinado) tal que $$ \mu = \int_{X_{1}} \mu_{x_{1}} \, \mu \left(\pi_1^{-1}(\mathrm d x_1) \right)= \int_{X_{1}} \mu_{x_{1}} \, \mathrm{d} (\pi_{1})_{*} (\mu) (x_{1}), $$

   Me pregunto si este resultado sigue siendo cierto si $Y$ , $X_i$ no son necesarios que sean espacios de Radon, sino espacios de medidas generales, siempre que $Y = X_1 × X_2$ y $_i : Y X_i$ ¿es la proyección natural?

   En otras palabras, dados dos espacios medibles $X_1$ y $X_2$ y una medida sobre el espacio medible producto $X_1 \times X_2$ ¿cuáles son las condiciones necesarias y/o suficientes para que la medida sobre $X_1 \times X_2$ sea la composición de alguna medida sobre $X_1$ y alguna medida de transición de $X_1$ a $X_2$ ?

Gracias y saludos.

Answer 1

Las desintegraciones son en realidad probabilidades de transición o probabilidades condicionales propias y regulares. Si definimos una función $K:X\times\mathcal{Y}\to[0,1]$ por $K(x,B)=\mu_x(B)$ obtenemos la probabilidad de transición correspondiente.

1. No tengo preparado un contraejemplo para el caso general, pero se puede extender el resultado a $\sigma$ -esencialmente resolviendo el problema separadamente para cada celda de una partición contable y medible como se explica aquí .

2. No. Supongamos que tenemos un producto infinito de los espacios medibles $(X_n,\mathcal{X}_n)$ y para cada $n$ tienes una medida $\mu_n$ en $\sigma(\mathcal{X}_1\times\ldots,\times\mathcal{X}_n)$ tal que para todo $B\in\sigma(\mathcal{X}_1\times\ldots,\times\mathcal{X}_{n-1})$ se tiene $\mu_{n-1}(B)=\mu_n(B\times X_n)$ . Si se pudiera aplicar sin más el teorema de desintegración a los espacios producto, se podrían generar medidas de transición $K_n:X_{n+1}\times\sigma(\mathcal{X}_1\times\ldots,\times\mathcal{X})\to[0,1]$ que te dan por el Ionescu-Tulcea -teorema a medida $\mu$ sobre el producto infinito tal que $\mu_n(B)=\mu(B\times X_{n+1}\times\ldots)$ . Pero tal extensión no es posible en general, como se muestra en una ejemplo por Andersen y Jessen en un artículo de 1948 titulado "On the introduction of measures in infinite product sets".