Hallar la función de Green de un operador en QFT

Question

Estoy trabajando en algo de teoría cuántica de campos y tengo que operar sobre un campo con el siguiente operador:

$$ (x^\mu \partial_\mu + 1)^{-1} $$

He intentado encontrar una forma explícita de este operador, pero ha resultado ser todo un reto. Llamándolo $\phi$ sé que tiene que obedecer:

$$ \int d^4x\> (x^\mu \partial_\mu + 1)\phi = 1 $$

pero todos mis intentos no me han llevado a ninguna parte. ¿Puede alguien indicarme la dirección correcta?

Answer 1

No me atrevería a indicarle la dirección correcta, pero podría considerar las evidentes funciones propias invariantes de Lorentz de su operador, a saber, las potencias $r^n$ , para $r\equiv \sqrt{x^\mu x_\mu}$ , $$ \frac{1}{1+x^\mu\partial_\mu} ~ r^n = \frac{1}{1+n} r^n ~. $$ También es fácil cuantificar las funciones propias direccionales $(a\cdot x)^n$ ya que el núcleo $x^\mu\partial_\mu$ es sólo un contador de energía, $$ x^\mu\partial_\mu r^n= x^\mu (2 x_\mu) \frac{n}{2} (r^2)^{n/2-1} =n ~r^n. $$

Answer 2

Partiendo de la respuesta de Cosmas. Puedes extender su definición a una base de funciones sobre $\mathbb{R}^d$ . Este es el motivo de mi comentario anterior. Cualquier función se puede escribir como una función radial multiplicada por un armónico esférico $$ \varphi(x) = f(|x|) \,Y_{l_1,\ldots l_{d-1}}(\theta_1,\ldots,\theta_{d-1})\,. $$ Los armónicos esféricos pueden representarse equivalentemente como polinomios de grado $l_{d-1}$ (donde $l_{d-1}\geq l_{d-2}\geq\cdots \geq |l_1|$ ) $$ Y_{l_1,\ldots l_{d-1}}(\theta_1,\ldots,\theta_{d-1}) = \frac{1}{|x|^{l_{d-1}}}C(l_1,\ldots,l_{d-1})^{\mu_1\ldots \mu_{l_{d-1}}} x^{\mu_1}\cdots x^{\mu_{l_{d-1}}}\,, $$ donde los coeficientes son tensores simétricos sin trazas. Es evidente que en esta representación $$ x^\mu \partial_\mu Y_{l_1,\ldots l_{d-1}}(\theta_1,\ldots,\theta_{d-1}) = 0 $$ porque la función es homogénea de grado cero. Así que ahora su operador actúa sólo sobre $f$ y hemos reducido el problema a una dimensión.

Para cualquier función suficientemente regular ( $L^2(\mathbb{R})$ debería ser suficiente) se puede definir el Transformada (inversa) de Mellin como $$ f(x) = (\mathcal{M}^{-1}g)(x) = \frac{1}{2\pi i}\int_{c-i\infty}^{c+i\infty} \mathrm{d}s\,x^{-s}\,g(x)\,. $$ Consulte las condiciones en el enlace $c$ y la transformada directa de Mellin utilizada para hallar $g(x)$ . Ahora, para cualquier función que se comporte suficientemente bien $F$ se puede definir $$ F\big(-x_\mu\partial^\mu\big)f(|x|) = \frac{1}{2\pi i} \int_{c-i\infty}^{c+i \infty}\mathrm{d}s \,F(s)\,|x|^{-s}g(|x|)\,. $$ Su pregunta se refiere al caso especial $$ F(s) = \frac{1}{1-s}\,. $$

En resumen, se puede descomponer cualquier campo en una parte radial y otra angular, hacer la transformada de Mellin inversa en la parte radial, aplicar el operador en el espacio de Mellin y volver a transformar.