Dimensión del tensor k simétrico alternante sobre un $n$ -espacio vectorial dimensional.

Question

Quiero resolver esta cuestión:

Supongamos que $V$ es un vector de dimensión $n$ sobre un campo $F$ de característica no igual a 2. Calcular dim $Sym^{k}(V)$ (el tensor simétrico k ).

Sé que $(Sym^k(V))^*,$ donde $*$ denota que el dual es isomorfo al polinomio homogéneo de grado $k$ en $n$ -variables $F[x_1, \dots, x_n]_k$ . y sé que en caso de $F[x_1, x_2]_k$ su dimensión es $k+1$ pero no sé cómo generalizar su dimensión cuando tenemos $n$ -variables. ¿Podría alguien aclararme esto, por favor?

Además, ¿cómo puedo calcular dim de $\wedge^k(V)$ (formas simétricas oblicuas)

Answer 1

Para los tensores simétricos puede consultar esta respuesta . Proporcionaré un esquema para los tensores alternos ya que no puedo encontrar un enlace adecuado en este momento

Dada una base $\{e_{1},...,e_{n}\}$ de $V$ .

Defina $\{E^{1},...,E^{n}\}$ la base dual correspondiente a $\{e_{1},...,e_{n}\}$ .

para un índice múltiple $(i_{1},...,i_{k})= I$ tal que $1\leq i_{j}\leq n$ para todos $j=1,2,...,k$ .

Defina $$E^{I}(v_{1},...,v_{n})=\begin{vmatrix} E^{i_{1}}(v_{1})& E^{i_{2}}(v_{1})&\cdots& E^{i_{k}}(v_{1}) \\ \vdots&\vdots&\cdots & \vdots \\ E^{i_{1}}(v_{k})&E^{i_{2}}(v_{k})&\cdots &E^{i_{k}}(v_{k})\end{vmatrix}$$

Entonces puedes probar que $\{E^{I}:i_{1}<i_{2}<...<i_{k}\}$ constituye una base para las formas alternas .

Es decir, se puede expresar cualquier forma alterna como $$\sum^{\text{increasing}}_{I}c_{I}E^{I}$$ . Es decir, estás sumando todos los multiíndices crecientes.

Y que el conjunto anterior es linealmente independiente.

La cardinalidad es precisamente $\dbinom{n}{k}$ ya que hay precisamente $\dbinom{n}{k}$ muchas formas de elegir y organizar $k$ números de $n$ y ordenarlos en orden creciente.

Para más detalles (prueba completa), véase la obra de John M Lee introducción a los colectores lisos Capítulo 14.