Por favor, ayuda con la desigualdad $$\large\sqrt[2]{x+\sqrt[3]{y+\sqrt[4]{z}}}\geqslant\sqrt[32]{xyz}.$$ Lo he intentado con el teorema de Cauchy. Y no sé qué hacer después.
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Did
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Sugerencia: Es necesario poder acotar a la baja las sumas $u+v^\theta$ con $u$ y $v$ no negativo y $\theta$ en $(0,1)$ por algún poder de $uv$ . Por lo tanto, es posible que desee mostrar primero la desigualdad óptima que establece que $$u+v^\theta\geqslant(1+\theta)\cdot\theta^{-1/(1+\theta)}\cdot(uv)^{\theta/(1+\theta)},$$ y aplicar esto dos veces a su configuración, una para $\theta=1/4$ entonces para $\theta=1/15$ . Si no me equivoco, el límite inferior que se obtiene de este modo es $c\cdot(xyz)^{1/32}$ con $c\approx1.477228.$
IBr
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Ambos lados son positivos por lo que la desigualdad es equivalente con $$x+\sqrt[3]{y+\sqrt[4]{z}} \geq \sqrt[16]{xyz}$$
Obsérvese que por la desigualdad AM-GM $$y+\sqrt[4]{z}=\frac14\sqrt[4]{z}+\frac14\sqrt[4]{z}+\frac14\sqrt[4]{z}+\frac14\sqrt[4]{z}+y \geq 5 \sqrt[5]{\frac{1}{256}yz}$$
A continuación, observe que $\sqrt[3]{y+\sqrt[4]{z}} \geq \sqrt[3]{5 \sqrt[5]{\frac{1}{256}yz}} = \sqrt[15]{\frac{3125}{256}yz}$ .
Entonces observa que por la desigualdad AM-GM
$$x+\sqrt[3]{y+\sqrt[4]{z}} \geq x+15 \cdot \frac1{15} \sqrt[15]{\frac{3125}{256}yz} \geq 16 \sqrt[16]{\frac{3125}{256\cdot 15^{15}}xyz} = \sqrt[16]{\frac{3125\cdot 16^{16}}{256\cdot 15^{15}}xyz} = \sqrt[16]{\frac{3125\cdot 16^{14}}{15^{15}}xyz} > 1.477228 \sqrt[16]{xyz} > \sqrt[16]{xyz}$$
