Problema en Integral Doble por Cambio de Orden

Question

$$\text{Evaluate by changing the order} \int^1_0\int^y_{4y}e^{x^{2}}dx\ dy.$$

No consigo resolver la siguiente pregunta. Lo he intentado de la siguiente manera. Primero he formado la ecuación de rectas utilizando los límites de la integral interna que daba ecuaciones de $2$ líneas.

$$ y = x $$

$$ y = x/4 $$

y los límites de la integral exterior me dieron la región total acotada como sigue

Por lo que he entendido, tengo que calcular el volumen de la función $e^{x^2}$ dentro de la zona delimitada. Dado que, desde el orden actual, el cálculo de la integral es difícil, traté de cambiar el orden de la integral (como se da en la pregunta) así que esto es lo que hice :

Primero pensé que la integral de corriente divide la región de corriente en pequeñas $dA$ e integrando primero por $dx$ significa que estamos tomando una franja paralela a $X$ -con una longitud comprendida entre $y = x$ y $y = x/4$ y luego lo integró todo por encima de 0 a 1.

Entonces intenté cambiar este orden y pensé en integrar primero w.r.t. $dy$ ya que esto significará que dividiré la región en franjas paralelas a $Y$ -pero la ecuación se dividirá en dos, siendo los límites interiores de la primera $x/4$ a $x$ y segundo de $x/4$ a $1$ . y el límite exterior cambiará a 0 a 1 para el primero y 1 a 4 para el segundo. Estaba resolviendo la integral pero entonces me encontré con un problema.

No puedo integrar más el término resaltado. Por favor, dígame dónde me he equivocado.

Nota: He olvidado el $x$ en primer término, será $\frac{3xe^{x^2}}{4}$

Answer 1

$$ \Big[ y e^{x^2} \Big]_{y\,:=\,x/4}^{y\,:=\,x} = xe^{x^2} - \frac x4e^{x^2} = \frac3 4 xe^{x^2}. $$

Answer 2

Bueno

$$ \int_1^4 e^{x^2} dx $$

Sub $x-1=t$ entonces:

$$ \int_0^3 e^{(t+1)^2} dx$$

Ahora comparemos $e^{(t+1)^2}$ si se trata de una serie de Taylor truncada en torno a cero:

$$g(n,t) = e^{(t+1)^3} - \sum_{k=0}^n \frac{(t+1)^{2k} }{k!}$$

En realidad se trata de una aproximación "horrible" ya que después de t=1 ni siquiera "10" términos son suficientes para dar una buena aproximación

Véase mi gráfico al respecto aquí

Si te ha gustado y quieres ver más gráficos "bonitos" basados en la serie Taylor, consulta la entrada de mi blog aquí