Probabilidad de la suma de 2 variables - Convolución

Question

Digamos $A$ y $B$ son dos variables aleatorias uniformes independientes sobre $[0,10]$ y:

$X = max(A-1, 0)$

$Y = max(B-2, 0)$

De modo que $X$ y $Y$ tienen su función de densidad respectivamente:

$F_{X}(x) = \frac{x+1}{10}$ , $0 \le x \le 9$

$F_{Y}(y) = \frac{y+2}{10}$ , $0 \le y \le 8$

Me gustaría calcular la probabilidad de que $X+Y \le 5$ .

Esta es mi solución:

$f_{X}(x) = f_{Y}(y)=\frac{1}{10}$ .

Así que..:

$P(X+Y\le 5) =E_{Y}[P(X \le 5 -y)|Y=y]=E_{Y}[P(X \le 5 -y)]=\int_{0}^{5}\frac{6-y}{10}\frac{1}{10}dy=\frac{7}{40}$

Pero la respuesta correcta debería ser $\frac{59}{200}$

Creo que hay un error en mi solución pero no he podido descubrirlo. Puedes echarle un vistazo y explicármelo?

Answer 1

Está mal porque ignoró los casos en los que $X=0$ y/o $Y=0$ . Por eso $f_X(x)\neq 1/10$ y $X$ no es continua. Una forma de calcularlo es utilizando el teorema de la probabilidad total: $$P(A)=P(A|X=0,Y=0)P(X=0,Y=0)+...+P(A|X\neq0,Y\neq 0)P(X\neq 0,Y\neq 0)$$

Dónde $A$ se define como el acontecimiento $X+Y\leq 5$ . El último caso puede calcularse fácilmente mediante un esquema 2d de distribuciones condicionales sobre $[0,9]\times [0,8]$ con $f_{X,Y|X\neq 0,Y\neq0}(x,y)=1/72$ .