Subgrupos normales de grupos diedros

Question

En relación con mi pregunta anterior Tengo curiosidad por saber cuáles son exactamente los subgrupos normales de un grupo diedro $D_n$ de orden $2n$ .

Es fácil ver que los subgrupos cíclicos de $D_n$ es normal. Pero sospecho que se necesita un análisis de casos para decidir si los subgrupos diedros de $D_n$ es normal.

Un poco de búsqueda en Internet sugiere el uso del producto semidirecto $(\mathbb Z/n\mathbb Z) \rtimes (\mathbb Z/2\mathbb Z) \cong D_n$ pero no conozco la condición para que los subgrupos de un producto semidirecto sean normales.

Les agradecería que me sugirieran una forma de enumerar los subgrupos normales de $D_n$ que no recurre demasiado al análisis de casos.

Answer 1

Aquí es una buena respuesta: el grupo diedro está generado por una rotación $R$ y una reflexión $F$ sujeta a las relaciones $R^n=F^2=1$ y $(RF)^2=1$ . Para $n$ impar los subgrupos normales vienen dados por $D_n$ y $\langle R^d \rangle$ para todos los divisores $d\mid n$ . Si $n$ es par, hay otros dos subgrupos normales, es decir, $\langle R^2,F \rangle$ y $\langle R^2,RF \rangle$ .