Unicidad del movimiento browniano

Question

Puede que sea una pregunta tonta, pero me ha inquietado un poco. Entiendo la construcción del movimiento browniano (primero usamos el teorema de extensión de Kolmogorov para construir el valor en tiempos diádicos y luego usamos (¿otra vez Kolmogorov?) el teorema de continuidad para rellenar los huecos). En resumen obtenemos un mapa medible $f: (\Omega, \mathcal F, P) \to \mathbb R^{[0, +\infty)}$ tales que las trayectorias sean a.s. continuas, de incrementos independientes como v.r. gaussianas, etc.

Sin embargo, me planteo la siguiente pregunta (quizá demasiado pedante): Supongamos que existe otro mapa medible $\tilde f: (\tilde \Omega, \mathcal{\tilde F}, \tilde P) \to \mathbb R^{[0, +\infty)}$ cuyas trayectorias son a.s. continuas y tiene una distribución de dimensión finita idéntica al movimiento browniano (construido anteriormente). Entonces, ¿existe un isomorfismo que preserve la medida (tal vez modulo los conjuntos nulos) $\phi: (\Omega, \mathcal F, P) \to (\tilde \Omega, \mathcal{\tilde F}, \tilde P)$ tal que f = f $\tilde f = f\phi$ ? En otras palabras, ¿existe un movimiento browniano "universal" (en el sentido de la teoría de categorías)? Tal vez algunos requisitos sobre el espacio $(\tilde \Omega, \mathcal{\tilde F}, \tilde P)$ es necesario, en cuyo caso supondré que es el espacio de probabilidad estándar de Borel.

También una observación al margen: ¿es realmente importante esta consideración en la teoría de la probabilidad? ¿O nos conformamos con equivalencias de procesos estocásticos (que tienen la misma distribución dimensional finita), que supongo que es más débil que los "isomorfismos" que preservan la medida?

Editar : He cometido un error tonto en la expresión de la (supuesta) propiedad universal. Debería ser $\tilde f = f \phi$ en lugar de $\tilde f = \phi f$ .

Answer 1

La pregunta que planteas es interesante en sí misma, pero no suele considerarse una cuestión de importancia en la teoría de la probabilidad. Generalmente, la unicidad es importante, y una afirmación como "¿es único el movimiento browniano?" se plantea, pero no de la forma que describes. En cambio, la cuestión de la unicidad del movimiento browniano se plantea de la siguiente manera:

Consideremos el espacio medible $(C,\mathcal{C})$ donde $C$ es el conjunto de funciones continuas de $[0,\infty)$ a $\mathbb{R}$ y $\mathcal{C}$ es el $\sigma$ -inducida por las proyecciones de coordenadas. Si $P$ y $Q$ son dos medidas de probabilidad que satisfacen ambas los requisitos para ser la distribución de un movimiento browniano, es $P=Q$ ?

En este sentido, la unicidad se refiere a distribuciones y no a mapeados o variables aleatorias. Además, la cuestión de la unicidad es bastante trivial comparada con la cuestión de la existencia: Puesto que la $P$ y $Q$ tienen las mismas distribuciones finito-dimensionales, son iguales en un sistema generador para $\mathcal{C}$ que es estable bajo intersecciones, y por lo tanto los resultados estándar de unicidad para medidas de probabilidad dan como resultado $P = Q$ .

Además, en teoría de la probabilidad, el principal resultado al que se hace referencia cuando se considera la existencia del movimiento browniano es la existencia de una medida de probabilidad sobre $(C,\mathcal{C})$ que satisface los requisitos para ser un movimiento browniano, y no un mapeo real. Si se requiere un proceso estocástico real, se puede utilizar el mapeo de identidad en $(C,\mathcal{C},P)$ . Se trata de consideraciones un tanto abstractas, pero útiles a la hora de precisar lo que se está construyendo. Para más información, véanse los libros de Rogers y Williams, en particular el capítulo II del volumen I.