El problema dice que tengo que encontrar las ecuaciones de movimiento en la formulación Hamiltoniana para un péndulo simple con masa $m$ y longitud $l$ cuyo soporte se desplaza sin rozamiento a lo largo de la parábola dada por $\displaystyle y = ax^2$ en el plano vertical $(x,y)$ .
Estoy atascado aquí porque es difícil para mí visualizar cómo construir la ecuación para ambas energías (potencial y cinética) con el fin de obtener el Lagrangiano, y luego dar el Hamiltoniano.
Sé que las energías del péndulo por sí solas vienen dadas por $$ T = \frac{1}{2}mv^2 $$ y $$ V = mgl(1 - \cos{\theta}) $$
¿Podría darme alguna ayuda o pista?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Por lo que tenemos que la energía cinética viene dada por
$$K = \frac{1}{2} m (\dot x^2 + \dot y^2 )$$
Si se considera que el ángulo que forma el péndulo con la vertical es $\theta$ y la longitud del péndulo será $l$ entonces se puede escribir
$$x_m = x_s + l sin\theta $$ y $$y_m = y_s - l cos\theta $$
donde $x_m$ , $y_m$ representan las posiciones de la masa en el péndulo y $x_s$ , $y_s$ representan el punto del soporte. Entonces las coordenadas de la masa serían
$$(x,y) = (x_m , y_m) = (x_s + l sin\theta , y_s - l cos\theta) $$
ya que tenemos la restricción $y=ax^2$ que es
$$(x,ax^2) \rightarrow (x +l sin\theta , ax^2 - l cos\theta) $$
donde he eliminado los subíndices. La energía potencial viene dada entonces por
$$V = mg(ax^2 - l cos\theta)$$
Obviamente el Hamiltoniano viene dado por
$$H = K + V = \frac{1}{2} m ( \dot x^2 + \dot y^2 ) + mg(ax^2 - l cos\theta)$$
El lagrangiano es
$$L = K-V = \frac{1}{2} m \dot x^2 + \frac{1}{2} m \dot y^2 -mgax^2 + mglcos\theta $$
Esta debería ser toda la información que necesitas para resolver este problema.
