Otro enfoque (sin utilizar matrices):
Permítanme describir primero algunas cosas más generales. Supongamos que tenemos un avión en $\mathbb{R}^3$ entonces contiene al menos algún punto $P = (x_0, y_0, z_0)$ . Consideremos otro punto arbitrario $Q = (x,y,z)$ entonces $Q$ es un punto del plano si el vector $$\vec{PQ} = Q - P = (x-x_0, y-y_0, z-z_0)$$ es un vector situado en el plano. Supongamos que tenemos un vector $$\vec{n} = (a,b,c)$$ que es normal a este plano. Esto significa que para cualquier vector en el plano, debemos tener que $\vec{n}$ es ortogonal a ella (por definición del vector normal). Hemos descrito todos los vectores posibles en el plano (véase la expresión de $\vec{PQ}$ por lo que la ecuación del plano viene dada por $$a(x-x_0) + b(y-y_0) + c(z - z_0) = 0. \quad \quad\quad\quad\quad(1)$$ ¿De dónde viene esta expresión? Bien, dos vectores $(x_1, x_2, x_3)$ y $(y_1, y_2, y_3)$ son ortogonales si y sólo si $$x_1y_1 + x_2y_2 + x_3y_3 = 0 $$ por lo que debido a nuestra descripción de los vectores $\vec{PQ}$ en el plano y la definición de vector normal, encontramos la ecuación en la fórmula (1).
Pasemos ahora a tu recta: vamos a encontrar la dirección de la misma aplicando el mismo truco que para el plano: buscamos un vector que esté en esta recta y lo hacemos encontrando dos puntos en la recta y calculando el vector correspondiente. Puedes comprobar que los puntos $K= (1,1,0)$ y $L= (-2,6,11)$ son puntos de la línea. Los he encontrado fijando $z = 0$ y luego probando algunos $x$ para encontrar valores $y$ -valores. Por lo tanto, el vector $$\vec{KL} = L - K = (-3, 5, 11)$$ es un vector en la línea que tienes.
Ahora miramos si este vector es ortogonal a la normal de nuestro plano. Debido a la fórmula (1), la normal viene dada por $(1,-1,1)$ (comparando la ecuación del plano que te dan con la ecuación de la fórmula (1)). Si la normal es ortogonal al vector de la recta, entonces la recta debe ser paralela al plano. Si no, la recta intersecará al plano. Calculamos el producto interior y encontramos $$1 \cdot (-3) + (-1) \cdot 5 + 1 \cdot 11 = -3 -5 + 11 = 3 \neq 0$$ por lo que el vector sobre la recta no es perpendicular a la normal del plano. Por tanto, la recta intersecará al plano.
