Geometría Analítica: línea paralela a un plano

Question

Estoy tratando de resolver este problema de Geometría analítica del espacio:

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Tengo una recta descrita por el sistema: $$\begin{cases} 2x-y+z-1 &=0\\ 5x+3y-8& =0 \end{cases}$$

y debo verificar si esta recta es paralela o no al siguiente plano:

$x-y+z+10=0$

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Intenté obtener las ecuaciones reducidas de la recta y luego intercambiar el $z$ y $y$ que obtuve en la ecuación del plano.

Resolví la ecuación con la variable $x$ pero luego obtuve 3 soluciones que no parecen ser el punto real de intersección entre la recta y el plano.

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¿Alguna idea de cómo debería resolver este problema?

Answer 1

Las respuestas dadas son más cortas, pero también puedes proceder de la siguiente manera: se te da una línea (dos ecuaciones) y un plano (una ecuación) y en $\mathbb{R}^3$ solo hay tres posibilidades: la línea es paralela al plano y no es parte de él, la línea interseca el plano o la línea es paralela al plano y es parte de él.

Observando tus ecuaciones, podemos considerarlas como un sistema de ecuaciones. ¡Estos sistemas tienen ya sea ninguna, una o infinitas soluciones! Esto corresponde a las situaciones anteriores que he descrito. Usando este enfoque, encontramos el siguiente sistema de ecuaciones: $$\begin{cases} 2x - y + z &= 1\\ 5x + 3y &= 8\\ x - y +z &= -10 \end{cases}$$ que puedes colocar en una matriz aumentada y reducir por filas. Esto te da la siguiente solución: $(x;y;z) = (11; -15,66666 ; -35,66666)$ (donde utilicé $;$ para separar las coordenadas y $,$ para denotar las partes decimales). Por lo tanto encontramos una solución, y así la línea debe intersectar el plano.

Para mostrarte que la línea sí interseca, he graficado esto en GeoGebra usando la opción 3D y encontré un punto de intersección $A$ con las coordenadas que mencioné:

Answer 2

Otro enfoque (sin el uso de matrices):

Permíteme primero describir algunas cosas más generales. Supongamos que tienes un plano en $\mathbb{R}^3$, entonces contiene al menos algún punto $P = (x_0, y_0, z_0)$. Considera otro punto arbitrario $Q = (x, y, z)$, entonces $Q$ es un punto del plano si el vector $$\vec{PQ} = Q - P = (x-x_0, y-y_0, z-z_0)$$ es un vector que se encuentra en el plano. Supongamos que tenemos un vector $$\vec{n} = (a,b,c)$$ que es normal a este plano. Esto significa que para cualquier vector en el plano, debe ser ortogonal a él (por definición del vector normal). Hemos descrito todos los vectores posibles en el plano (ver la expresión de $\vec{PQ}$), por lo que encontramos que la ecuación del plano es dada por $$a(x-x_0) + b(y-y_0) + c(z - z_0) = 0. \quad \quad\quad\quad\quad(1)$$ ¿De dónde proviene esta expresión? Bueno, dos vectores $(x_1, x_2, x_3)$ y $(y_1, y_2, y_3)$ son ortogonales si y solo si $$x_1y_1 + x_2y_2 + x_3y_3 = 0$$ así que debido a nuestra descripción de los vectores $\vec{PQ}$ en el plano y la definición del vector normal, encontramos la ecuación en la fórmula (1).

Ahora para tu línea: encontramos la dirección de ella aplicando el mismo truco que para el plano: buscamos un vector que se encuentre en esta línea y lo hacemos encontrando dos puntos en la línea y calculando el vector correspondiente. Puedes comprobar que los puntos $K= (1,1,0)$ y $L= (-2,6,11)$ son puntos en la línea. Encontré estos estableciendo $z = 0$ y luego probando algunos valores de $x$ para encontrar valores de $y$ agradables. Por lo tanto, el vector $$\vec{KL} = L - K = (-3, 5, 11)$$ es un vector en la línea que tienes.

Ahora verificamos si este vector es ortogonal al normal de nuestro plano. Debido a la fórmula (1), el normal está dado por $(1,-1,1)$ (comparando la ecuación del plano que te dieron con la ecuación en la fórmula (1)). Si el normal es ortogonal al vector en la línea, entonces la línea debe ser paralela al plano. Si no, la línea intersectará al plano. Calculamos el producto interno y encontramos: $$1 \cdot (-3) + (-1) \cdot 5 + 1 \cdot 11 = -3 -5 + 11 = 3 \neq 0$$ por lo tanto, el vector en la línea no es perpendicular al normal del plano. Entonces la línea intersectará al plano.

Answer 3

Tenga en cuenta que un vector de dirección de la línea en consideración es fácil de obtener, ya que observamos que no es más que un vector perpendicular a los vectores normales $(2,-1,1), (5,3,0)$ de los dos planos (El libro de texto al que hace referencia, confío en que le muestra cómo construir un vector perpendicular a dos vectores no nulos dados de manera lógica con anterioridad, así como la forma general de dicho vector.). El cálculo da $(-3, 5, 11)$ como un vector de dirección de la línea. Si es paralelo al segundo plano, entonces el producto escalar de $(-3,5,11)$ y el vector normal $(1,-1,1)$ del plano es $= 0$; pero el producto escalar es $3$, por lo que la línea no es paralela al plano.

Apéndice: Un vector $(x,y,z)$ es perpendicular a los vectores no nulos $(x_{1},y_{1},z_{1}), (x_{2},y_{2},z_{2})$ si y solo si $x_{1}x + y_{1}y + z_{1}z = x_{2}x + y_{2}y + z_{2}z = 0$. Esto es lo que sucede en el proceso de cálculo.

Answer 4

Pista La línea de intersección está en ambos planos, por lo tanto su dirección es perpendicular a las direcciones normales de ambos planos.

El producto cruz te da la dirección de esta línea. Verifica si esta dirección es ortogonal al vector normal del tercer plano.

Answer 5

Desde el plano tenemos el vector $$[1;-1;1]$$ y desde la recta $$[-3/11;8/11;1]$$ y el producto punto da cero, la recta es paralela al plano