Entiendo que mi pregunta es más adecuada en el foro de Ciencias Computacionales, pero quiero que algunas de las cuestiones de esta pregunta relevantes para la física se traten aquí.
Estoy intentando resolver el $\textbf{1-D}$ Ecuación de Poisson para una estructura semiconductora en equilibrio (no se aplica ningún sesgo externo).
$\textbf{Background}$
\begin{equation} \frac{d^2V}{dx^2} = -\frac{\rho(V)}{\epsilon}\\ \rho(V) = q(N_D-N_A+p(V)-n(V)) \end{equation}
Cuando se ponen en contacto dos semiconductores diferentes, se produce una redistribución de la carga, lo que provoca una dependencia de la carga respecto al potencial (las bandas se curvan).
$\textbf{Solving with the Newton-Rhapson method}$
Estoy intentando resolver la ecuación no lineal anterior utilizando el método newton-rhapson. Tomando la diferencia central, la segunda derivada se convierte en: \begin{equation} \frac{d^2V}{dx^2}|_i = \frac{(V_{i+1}-2V_i+V_{i-1})}{dx^2} \end{equation}
El problema de resolver esto ahora es que esta derivada no puede calcularse para los dos puntos extremos de la estructura. ¿Cuáles son las condiciones de contorno que hay que aplicar en los bordes?
Otro problema al que me enfrento es al calcular las densidades de carga incluyendo un coeficiente no parabólico $\alpha$ (para bandas no parabólicas), tengo que calcular estas integrales en cada iteración - \begin{equation} n = \int^{\infty}_{Ec}F_{1/2}(E)g_n(E)dE \hspace{10pt}p= \int^{E_v}_{-\infty}F_{1/2}(E)g_p(E)dE \end{equation} donde $F_{1/2}$ es la distribución de Fermi de 1/2 orden y $g(E)$ es la densidad de estados. Tengo que calcular las integrales con $E_c\text{ and }E_v$ pero se desconocen. ¿Cómo puedo iniciar y actualizar sus valores? ¿Cómo son cada una de estas energías ( $E_c,E_v,E_f$ ) entre sí y con el potencial del aparato?
