mensurabilidad con cero medir

Question

Deje $f : [0,1] \rightarrow \Bbb R$ es arbitrario de la función , y $E \subset \{ x \in [0,1] | f'(x)$ existe$\}$.

Cómo comprobar esta afirmación:

Si $E$ es medible con cero medir, a continuación, $f(E)$ es medible con cero de la medida.

Si $E$ es medible con cero medir, a continuación, $m(E)=0$ que $m :$ {medibles} $\rightarrow \Bbb R$, $m^* : P(\Bbb R) \rightarrow \Bbb R$,$A:= \{ x \in [0,1] | f'(x)$ es ser, existir$\}$. por lo $m(E)=m^*(E) <= m^*(A)$

Answer 1

hot_queen la respuesta parece bien a mí. Este no es independiente de responder, es una variación menor y un comentario sobre hot_queen la respuesta, voy a postear como una respuesta para una mejor legibilidad (y quién sabe, alguien puede ser engañado en upvoting).

Estoy reorganizando la cubierta lexema parte del argumento. Como se observó anteriormente, es suficiente para hablar de la situación en la que $|f'|\le 1$$E$. Para cada una de las $x\in E$, entonces podemos encontrar un intervalo de $I_x=(x-h_x, x+ h_x)$, de modo que $|f(I_x)|\le 2 |I_x|$. También podemos exigir que se $I_x\subset U$ para un conjunto abierto $U\supset E$$|U|<\epsilon$.

Los intervalos $I_x$ ($x\in E$) cubierta $E$, y se puede encontrar una subcolección $I_j$ (necesariamente contables) que todavía cubre $E$, y ha coincidencia en la mayoría de los $2$: $\sum \chi_{I_j}\le 2$. Esta es una versión de Besicovich cubre lema; en una dimensión, esto es bastante fácil e inmediatamente plausible. Ahora $$ |f(E)|\le \sum |f(I_j)| \le 2 \sum |I_j| \le 4 \left| \bigcup I_j \right| < 4\epsilon , $$ como se desee.

Answer 2

WLOG, $|f'(x) |< 1$ todos los $x \in E$. Fix $\varepsilon > 0$.

Deje $U \supseteq E$ ser un conjunto abierto de medir menos de $\varepsilon$. Tenga en cuenta que para cada una de las $x \in E$, hay arbitrariamente pequeños intervalos de $I_x \subseteq U$ centrada en $x$ que cumplan:

($\star$): Para todas las $y \in I_x$, $|f(y) - f(x)| < |y - x| < |I_x|/2$. En particular, $f[I_x]$ está contenida en un intervalo centrado en a $f(x)$ de la longitud de la $\leq |I_x|$.

Ahora, considere la colección de $\mathcal{V}$ de todos los intervalos $J$ centrada en $f(x)$ algunos $x \in E$, de tal manera que para algunos $I_x \subseteq U$ satisfactorio ($\star$), tenemos $f^{-1}[J] \supseteq I_x$ y $|J| \leq |I_x|$. $\mathcal{V}$ es un Vitali cobertura de $f[E]$ - Esto significa que para cada una de las $y \in f[E]$, para cada una de las $\delta > 0$ hay un intervalo de $J$ $\mathcal{V}$ tal que $|J| < \delta$$y \in J$. Por Vitali que cubre teorema, hay un discontinuo de la colección de $\{J_n : n \geq 1\} \subseteq \mathcal{V}$ que cubre todos pero una medida cero parte de $f[E]$. Puesto que el $I_x$'s correspondiente a dichas $J_n$'s de a pares distintos, la suma de las longitudes de $I_x$'s (que no es menos que la suma de las longitudes de $J_n$'s) es en la mayoría de medida de $U$, que es menos de $\varepsilon$. Dejando $\varepsilon$ ir a cero, se sigue que $f[E]$ tiene medida cero.

Answer 3

Sugerencia. Deje $E_n=\{x\in E:|f'(x)|\le n\}$. Demostrar que cada una de las $f(E_n)$ tiene una medida de $0$.

Comentario. La anterior sugerencia tal vez no sea muy útil. Me di cuenta de que no sé cómo demostrar que $m(f(E))=0$ incluso es asumo que, dicen, $|f'(x)|\le\frac13$ todos los $x\in E$. Por otro lado, si se podría resolver el problema en virtud de esta presunción, entonces uno también sería capaz de demostrar en general que $m(f(E_n))=0$ por cada $n$ donde $E_n$ son como se define en la pista. De hecho, podríamos definir, dicen, $g(x)=\frac1{3n}f(x)$, y, a continuación, $|g'(x)|\le\frac13$ por cada $x\in E_n$. Si supiéramos que $m(g(E_n))=0$ entonces es evidente que también tendría $m(f(E_n))\le3n\cdot m(g(E_n))=0$. La cuestión aún no ha sido contestada.

Edit. No sigo mi propia sugerencia. Sé que, además, dicen, $|f'(x)|\le\frac13$ todos los $x\in E$, después de tirar en la mayoría de los countably muchos puntos de $E$, también podemos suponer que para cada una de las $x\in E$ y cada una de las $t>0$ $(x-t,x)\cap E$ $(x,x+t)\cap E$ son innumerables. Esto podría ser relevante para ayudar a cubrir los $E$ con ciertos intervalos abiertos ... pero es un poco vaga, y no he hecho, y no podría ser algo más fácil o mejor.