El espacio de Schwarz es un espacio de Frechet

Question

Tengo una pregunta sobre la prueba de la completitud del espacio de Schwartz en Folland, proposición 8.2.

Toma $(f_k)$ sea una sucesión de Cauchy en el espacio de Schwartz $S$ .

Entiendo que en la prueba que construyó $g_0$ que satisface

$$\partial^\alpha f_k \to \partial^\alpha g_0$$

uniformemente. Pero en la definición de la norma $\|\dot\|_(N,\alpha)$ existe un factor $(1+|x|)^N$ y después de tomar el sup, ¿cómo podemos garantizar la convergencia uniforme de

$$(1+|x|)^N(\partial^\alpha f_k) \to (1+|x|)^N(\partial^\alpha g_0)?$$

Answer 1

El punto clave es recordar que tenemos el control de $\Vert f_n - f_m\Vert_{N,\alpha}$ de la hipótesis de Cauchy. Sea $\epsilon >0$ y elige $L$ tal que $m,n > L$ implica que $$\sup_{x} (1+ \vert x \vert)^N \vert \partial^\alpha f_n(x) - \partial^\alpha f_m(x) \vert = \Vert f_n - f_m\Vert_{N,\alpha} < \epsilon . $$ Para cualquier $x$ tenemos entonces que $m,n > L$ implica que $$ (1+ \vert x \vert)^N \vert \partial^\alpha f_n(x) - \partial^\alpha f_m(x) \vert < \epsilon, $$ pero sabemos que $\partial^\alpha f_m(x) \to \partial^\alpha g_0(x)$ como $m \to \infty$ para que podamos enviar $m\to \infty$ en la desigualdad anterior para obtener $$ (1+ \vert x \vert)^N \vert \partial^\alpha f_n(x) - \partial^\alpha g_0(x) \vert \le \epsilon. $$ Desde $x$ era arbitraria, podemos tomar el supremum y deducir que $$ n \ge L \Rightarrow \Vert f_n - g_0 \Vert_{N,\alpha} \le \epsilon, $$ y ya está.