Demostrar que si A es diagonalizable entonces |A| = λ1 · λ2 · · · λn,

Question

Demuestre que si A es diagonalizable entonces |A| = λ1 · λ2 · · · λn, donde λ1, λ2, . . . , λn son los valores propios de A

Answer 1

Sea A una matriz diagonalizable y P una matriz invertible tal que P^(-1)AP = D, donde D es la matriz diagonal cuyos elementos diagonales son los valores propios λ1, λ2, . . . , λn de A. Entonces, tenemos:

|A| = |P^(-1)DP|

= |P^(-1)||D||P|

= |P^(-1)P| · |λ1 · λ2 · · · λn|

= |I| · |λ1 · λ2 · · · λn|

= λ1 · λ2 · · · λn

Donde utilizamos las propiedades de la determinante y que la determinante de una matriz inversible es distinta de cero. Por lo tanto, se cumple la afirmación.