Suponiendo que $\mathfrak p$ es primo en $R$ y no contiene divisores nulos distintos de cero, tome un primo mínimo $\mathfrak q$ en $\mathfrak p$ . Desde $\mathfrak q$ consiste enteramente en divisores cero pero no contiene divisores cero no nulos, debe ser el ideal cero. Como hemos demostrado que el ideal cero es primo, $R$ es un dominio integral.
Por supuesto, queda por demostrar que los primos mínimos constan de divisores cero. Puedes encontrar alguna discusión h .
Allí se esboza una prueba: En $R_\mathfrak q$ sabemos que $\mathfrak q R_\mathfrak q$ es un ideal maximal, y que los primos de $R_\mathfrak q$ son los que están por debajo de $\mathfrak q$ . Desde $\mathfrak q $ es mínimo, se deduce que el único ideal primo de este anillo es $\mathfrak q R_\mathfrak q$ por lo que el radical de este anillo es $\mathfrak q R_\mathfrak q$ . Esto significa que para cada $q\in \mathfrak q$ hay un mínimo $n$ tal que $q^n/1=0$ es decir, hay $s\notin \mathfrak q $ tal que $sq^n=0$ . Desde $n$ fue elegido el más pequeño, $sq^{n-1}$ no es cero, por lo que $q$ es un divisor cero.