Una prueba sobre los ideales primos

Question

Supongamos que $R$ es conmutativa. Demostrar que si $P$ es un ideal primo de $R$ y $P$ no contiene divisores cero, entonces $R$ es un dominio integral.

Prueba : let $ab \in P$ donde $ab \not= 0$ . es decir $a \in P$ o $b \in P$ . Lo que implica que $a+P=P$ o $b+P=P$ la única manera de que $a+P=P$ . Si $a =0$ de forma similar $b+P=P$ de $b=0$ . Lo cual es una contradicción $ab$ es un dominio integral. No sé si este es un enfoque correcto.

Answer 1

Intenta demostrarlo: si existe un divisor cero, entonces existe un divisor cero en $P$ .

Esto demuestra que si no hay ningún divisor cero en $P$ entonces no hay nada y ya está.

Para ello supongamos: $ab=0$ con un valor distinto de cero $a,b$ es decir, suponer un divisor cero. Ahora, $0 \in P$ así que $a \in P$ o $b \in P$ y ya está.

Answer 2

Suponiendo que $\mathfrak p$ es primo en $R$ y no contiene divisores nulos distintos de cero, tome un primo mínimo $\mathfrak q$ en $\mathfrak p$ . Desde $\mathfrak q$ consiste enteramente en divisores cero pero no contiene divisores cero no nulos, debe ser el ideal cero. Como hemos demostrado que el ideal cero es primo, $R$ es un dominio integral.

Por supuesto, queda por demostrar que los primos mínimos constan de divisores cero. Puedes encontrar alguna discusión h .

Allí se esboza una prueba: En $R_\mathfrak q$ sabemos que $\mathfrak q R_\mathfrak q$ es un ideal maximal, y que los primos de $R_\mathfrak q$ son los que están por debajo de $\mathfrak q$ . Desde $\mathfrak q $ es mínimo, se deduce que el único ideal primo de este anillo es $\mathfrak q R_\mathfrak q$ por lo que el radical de este anillo es $\mathfrak q R_\mathfrak q$ . Esto significa que para cada $q\in \mathfrak q$ hay un mínimo $n$ tal que $q^n/1=0$ es decir, hay $s\notin \mathfrak q $ tal que $sq^n=0$ . Desde $n$ fue elegido el más pequeño, $sq^{n-1}$ no es cero, por lo que $q$ es un divisor cero.

Answer 3

Supongamos que $a,b\in R$ con $ab=0$ debemos demostrar que $a=0$ o $b=0$ . Ciertamente las imágenes $\overline a,\overline b$ de $a,b$ en $A/P$ satisfacer $\overline a\overline b=0$ y puesto que $R/P$ es un dominio integral (por la definición de ideal primo) uno de $\overline a,\overline b$ es cero, es decir $a\in P$ o $b\in P$ . Asumiendo por simetría el primer caso, entonces o bien $b=0$ (en cuyo caso hemos terminado), o bien $b\neq0$ y el hecho de que $P$ no contiene divisores nulos (de $R$ ) implican que $a=0$ (y nosotros también).

Creo que ésta es más o menos la prueba que querías dar, pero tus frases se confunden a partir de "la única manera"; simplemente no puedo descifrarlas.