Sé que fueron calculados por Gauss, pero ¿cómo? Hay un método para el cálculo de ellos?
Respuestas
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Si no recuerdo mal(por lo que he leído), Gauss demostró que
Podemos factor racional múltiples de $x^{17} - 1$ $(x-1)(P(x)^2 + aP(x) + b)$
Donde $P(x)$ $8^{th}$ grado del polinomio con coeficientes racionales.
Esta $P(x)$ podría a su vez ser representado como una ecuación cuadrática $Q(x)^2 + cQ(x) + d$, donde esta $Q(x)$ $4^{th}$ grado del polinomio.
Que $Q(x)$ sí era una ecuación cuadrática de una ecuación cuadrática!
El método real geométricamente la construcción del polígono llegó unos años más tarde.
En términos más modernos, básicamente (de nuevo, si recuerdo los términos correctamente), la división de campo de la $x^{17}-1$ se encuentra en una torre de extensiones cuadráticas, a partir de $\mathbb{Q}$.
Matthew Scouten
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Deje $\omega = e^{2 \pi i/17}$. Desde $3$ es una raíz primitiva de mod $17$, es decir, un generador del grupo multiplicativo de un valor distinto de cero enteros mod $17$, escribir $R_j = \omega^{3^j}$$j = 0, 1, \ldots, 15$. Estos y $1$ $17$'th raíces de la unidad. Para $2^j \le i < 2^{j+1}$ deje $x_i = \sum_{k \equiv i \mod 2^j} R_k$. A continuación, para $2^j \le i < 2^j + 2^{j-1}$, $x_i + x_{i+2^{j-1}}$ y $x_i x_{i+2^{j-1}}$ puede ser expresada en términos de la anterior $x_k$'s, que permite a $x_i$ $x_{i+2^{j-1}}$ se obtiene mediante la solución de una ecuación cuadrática: si $x + y = c$$xy = d \ne 0$, $x$ $y$ son las raíces de $z^2 - c z + d$. Por lo tanto:
$$x_1 = \sum_{j=0}^{15} R_j = -1$$
$x_2 = R_0 + R_2 + \ldots + R_{14}$ $x_3 = R_1 + R_3 + \ldots R_{15}$ satisfacer $x_2 + x_3 = x_1 = -1$ $x_2 x_3 = 4 x_1 = -4$ .
$x_4 = R_0 + R_4 + R_8 + R_{12}$ $x_6 = R_2 + R_6 + R_{10} + R_{14}$ satisfacer $x_4 + x_6 = x_2$, $x_4 x_6 = -1$
$x_5 = R_5 + R_9 + R_{13} + R_1$ $x_7 = R_7 + R_{11} + R_{15} + R_3$ satisfacer $x_5 + x_7 = x_3$, $x_5 x_7 = -1$
$x_8 = R_0 + R_8$ $x_{12} = R_4 + R_{12}$ satisfacer $x_8 + x_{12} = x_4$, $x_8 x_{12} = x_5$
$x_{16} = R_0 = \omega$ $x_{24} = R_8$ satisfacer $x_{16} + x_{24} = x_8$, $x_{16} x_{24} = 1$
