Forma cerrada para $\sum_{n=1}^\infty \frac 1 {2^n - 1}$

Question

¿Existe una forma cerrada para esto? $$\sum_{n=1}^\infty \frac 1 {2^n - 1}$$

He intentado buscar pero no he encontrado nada.

Answer 1

WolframAlpha lo sabe: $$ \sum_{n=1}^\infty \frac1{2^n-1}=1-\frac{\psi_{\frac12}^{(0)}(1)}{\log 2}=1.606695152415..., $$ donde $\psi_{q} (z)$ es el $q$ función -digamma .

Answer 2

$$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2^n-1}=\lim_{m\to\infty}\sum_{n=1}^{m}\frac{1}{2^n-1}=$$ $$\lim_{m\to\infty}\frac{\psi_{\frac{1}{2}}^{(0)}\left(m+1\right)-\psi_{\frac{1}{2}}^{(0)}\left(1\right)}{\ln(2)}=1-\frac{\psi_{\frac{1}{2}}^{(0)}(1)}{\ln(2)}$$