Cuándo un espacio métrico es euclídeo, sin referirse a $\mathbb R^n$ ?

Question

Normalmente, el espacio euclidiano se introduce como $\mathbb R^n$ . Sin embargo, ahora he estado pensando en cómo se podría definir el $n$ -espacio euclidiano sólo a partir de las propiedades de la métrica. He llegado a la siguiente conjetura:

Un espacio métrico $(M,d)$ es un $n$ -si tiene las siguientes propiedades:

Segmento de línea (L): Para dos puntos cualesquiera $A,B\in M$ y cualquier número $\lambda\in [0,1]$ existe exactamente un punto $C\in M$ para que $d(A,C)=\lambda\,d(A,B)$ y $d(C,B)=(1-\lambda)\,d(A,B)$ .

Unicidad de la extensión (U): Si para cualquier punto $A,B,C,D\in M$ con $A\ne B$ tenemos $d(A,C)=d(A,B)+d(B,C)=d(A,D)=d(A,B)+d(B,D)$ entonces $C=D$ .

Homogeneidad (H): Para cuatro puntos cualesquiera $A,B,C,D\in M$ con $d(A,B)=d(C,D)$ existe una isometría $\phi$ de $M$ para que $\phi(A)=C$ y $\phi(B)=D$ .

Invarianza de escala (S): Para cualquier $\lambda>0$ existe una función $s\colon M\to M$ de modo que para dos puntos cualesquiera $A,B\in M$ tenemos $d(s(A),s(B)) = \lambda\,d(A,B)$ .

Dimensión (D): El número máximo de puntos diferentes $P_1,\ldots,P_k$ para que cada par de ellos tenga la misma distancia es $n+1$ .

Ahora mi pregunta: ¿Es esto correcto? Es decir, ¿esas condiciones ya garantizan que el espacio métrico es un $n$ -espacio euclidiano? En caso negativo, ¿cuál sería un ejemplo de espacio métrico que no fuera euclídeo, pero que cumpliera todas las condiciones anteriores?

Lo que ya he encontrado (a menos que haya cometido un error, en ese caso, por favor corrija):

Es fácil ver que contiene una línea completa para cada par de puntos: Dados los puntos $A$ y $B$ la condición (L) ya da los puntos intermedios $A$ y $B$ . Ahora, para cualquier $r>0$ (S) nos dice que existen dos puntos $C,D$ para que $d(C,D) = (r+1)\,d(A,B)$ . Entonces (L) garantiza la existencia de un punto $E$ con $d(C,E)=1$ y $d(E,D)=r$ . Y (H) nos garantiza una isometría $\phi(C)=A$ y $\phi(E)=B$ . Entonces el segmento de línea desde $A$ a $\phi(D)$ extiende el segmento de línea en la dirección de $B$ . (U) nos garantiza que esta extensión es única.

Si definimos una línea recta $l$ como un conjunto de puntos tal que para tres puntos cualesquiera $A, B, C\in l$ la mayor de sus distancias es la suma de las otras dos distancias, entonces de obtenemos también inmediatamente que dos rectas pueden intersecarse como mucho en un punto (porque si tienen dos puntos en común, entonces (L) garantiza que todos los puntos intermedios son también comunes, y acabo de demostrar que la extensión es también única).

También puedo utilizar la ley de los cosenos para definir el ángulo $\phi = \angle ABC$ como $\cos\phi = \frac{d(A,C)^2-d(A,B)^2-d(B,C)^2}{2\,d(A,B)\,d(B,C)}$ (por supuesto la ley del coseno asume geometría euclidiana, pero ya que estoy definición de el ángulo, esto sólo significa que si el espacio no es euclidiano, el ángulo que acabo de definir no es el ángulo habitual). Es obvio que este ángulo es independiente de la escala (porque un factor común simplemente se anula).

También creo que con la definición del ángulo anterior, debería obtener que la suma de ángulos en el triángulo es siempre $\pi$ (porque puedo simplemente mapear los tres puntos individualmente en tres puntos con la misma distancia en un plano euclidiano conocido, y ahí sé que los ángulos suman $\pi$ ).

Sin embargo, ¿es eso suficiente para demostrar que se trata de un espacio euclidiano? ¿O podría haber algún espacio métrico extraño en el que todo esto fuera cierto sin ser un espacio euclidiano?

Answer 1

Quizá esto tenga alguna relevancia: Determinantes de Cayley-Menger .

(La mayor parte de este artículo de Wikipdia fue destruido el 11 de noviembre por un usuario llamado "Toninowiki". He restaurado gran parte de lo que fue destruido. El autor original de este hilo ha comentado más abajo que el artículo no trata de dimensiones superiores. Eso es erróneo. Si lo miras y no ves nada sobre dimensiones superiores, entonces mira la versión del artículo que había antes del 11 de noviembre. O en la que he dejado hace unos minutos).

Answer 2

Creo que la cuestión aquí es que hay cierta confusión entre tu uso de los términos espacio métrico, euclidiano y $\mathbb{R}^{n}$ .

El objeto más general de la lista anterior es el de un espacio métrico.

Los axiomas dados en la pregunta son satisfechos por cualquier espacio métrico homogéneo completo -- por ejemplo la métrica hiperbólica en la unidad $n$ -bola.

Así que si empiezas con el espacio subyacente $\mathbb{R}^n$ y dar $\mathbb{R}^n$ la métrica estándar, entonces se cumplen los axiomas.

Si tomamos un conjunto subyacente distinto, por ejemplo la bola unitaria, y le aplicamos una métrica hiperbólica, ¡se cumplen los axiomas!

Así que sus axiomas no distinguen realmente entre diferentes métricas. Sólo dan propiedades satisfechas por muchas métricas en diferentes espacios.

Si pregunta si $\mathbb{R}^n$ se puede dar una métrica que satisfaga los axiomas pero en la que la ley del coseno diga que es diferente, entonces la respuesta es no.

Espero que le sirva de ayuda.

Answer 3

Para demostrar que sus axiomas son correctos, basta con demostrar que son equivalentes a Los axiomas de Tarski de la geometría euclidiana que han demostrado ser correctas. A continuación las he escrito en el contexto de un espacio métrico, para que la equivalencia sea más fácil de verificar.

Los axiomas de Tarski sólo tienen una noción primitiva, la de puntos, y sólo dos relaciones, la congruencia y la interrelación.

Restringiendo a espacios métricos, es muy sencillo definir una noción apropiada de congruencia para sustituir en los axiomas de Tarski: puntos $p_1, p_2, p_3, p_4$ son congruentes (escrito $p_1 p_2 \equiv p_3 p_4$ ) si y sólo si $d(p_1, p_2) = d(p_3, p_4)$ .

También podemos definir una noción adecuada de betweenness en términos totalmente métricos. (Esta definición se inspira en espacios métricos convexos del que el espacio euclidiano es un ejemplo. Sin embargo, véase también 1 o 2 .) Decimos que el punto $p_2$ está entre los puntos $p_1$ y $p_3$ si y sólo si se alcanza la igualdad en la desigualdad triangular: $d(p_1, p_2) + d(p_2, p_3) = d(p_1,p_3)$ .

Nótese que, con estas definiciones de congruencia y betweenness, los axiomas 1,2,3, y 6 en esta numeración se vuelven redundantes, por lo que no es necesario mencionarlas. Así, en el caso de los modelos de espacios métricos para la geometría euclidiana, el número de axiomas reducir automáticamente de 11 a 7 . Esto conduce a la siguiente lista de axiomas del espacio métrico para la geometría euclidiana (con nueva numeración):

1. Ampliación de segmento: Puntos determinados $p_1,p_2,p_3,p_4$ : $$\begin{array}{l}\text{There exists a point }p_5\text{ such that: }\\ d(p_1,p_2) + d(p_2,p_5) = d(p_1,p_5)\text{ and }d(p_2,p_5) = d(p_3,p_4) \,. \end{array} $$
2. Axioma de los cinco segmentos: Puntos determinados $p_1,p_2,p_3,p_4$ y $q_1,q_2,q_3,q_4$ con $d(p_1,p_2) > 0$ : $$ \begin{array}{l} \text{If:} \\ \begin{array}{ll}d(p_1,p_2) = d(q_1,q_2) \,, & d(p_2,p_3) = d(q_2,q_3) \,, \\ d(p_1,p_4) = d(q_1,q_4) \,, & d(p_2,p_4) = d(q_2,q_4) \,, \\ d(p_1,p_2)+d(p_2,p_3) = d(p_1,p_3) \,, & d(q_1,q_2)+d(q_2,q_3) = d(q_1,q_3) \end{array} \\ \text{Then } d(p_3,p_4) = d(q_3,q_4) \,. \end{array} $$
3. (Interior) Axioma de Pasch: Puntos determinados $a,b,c$ y $p,q$ : $$ \begin{array}{l} \text{If } d(a, p)+d(p, c) = d(a,c)\text{ and }d(b, q)+d(q, c) = d(b,c) \\ \text{Then there exists a point }x\text{ such that: }\\ d(p,x)+d(x,b) = d(p,b)\text{ and }d(q,x)+d(x,a) = d(q,a) \,. \end{array} $$
4. Axioma de dimensión inferior ( $n \ge 2$ ) : Existen puntos $a,b,c$ , $n-1$ distinto puntos $p_1, \dots, p_{n-1}$ tal que: $$ \begin{array}{l} d(a,b)+d(b,c) < d(a,c) \,, d(b,c) + d(c,a) < d(b,a) \,, d(c, a)+ d(c, b) < d(c,b) \,, \text{ and} \\ d(a, p_1) = d( a, p_2) = \dots = d( a, p_{n-1})\,, d(b, p_1) = d( b, p_2) = \dots = d( b, p_{n-1})\,, \\ \text{and }d(c, p_1) = d( c, p_2) = \dots = d( c, p_{n-1}) \,. \end{array} $$
5. Axioma de la dimensión superior ( $n \ge 2$ ): Existen puntos $a,b,c$ , $n$ distinto puntos $p_1, \dots, p_{n-1}, p_n$ tal que: $$ \begin{array}{l} \text{If } d(a, p_1) = d(a,p_2) = \dots = d(a, p_n)\,, d(b, p_1) = d(b, p_2) = \dots = d(b, p_n) \,, \\ \text{and }d(c, p_1) = d(c, p_2) = \dots = d(c, p_n) \\ \text{Then at least one of }d(a,b)+d(b,c) = d(a,c)\,, d(b,c)+d(c,a) = d(b,a) \,, \\ \text{ or }d(c,a)+d(a,b) = d(c,b) \text{ is true.} \end{array} $$
6. Axioma de Euclides: Puntos determinados $p_1, p_2, p_3, p_4$ y $t$ : $$ \begin{array}{l} \text{There exist points }x,y\text{ such that: } \\ \text{If }d(p_1,p_4) >0\text{, }d(p_1,p_4)+d(p_4,t) = d(p_1,t)\text{, and }d(p_2,p_4)+d(p_4,p_3) = d(p_2,p_3) \\ \text{Then } d(p_1,p_2)+d(p_2,x) = d(p_1,x)\text{, }d(p_1,p_3)+d(p_3,y) = d(p_1,y)\,,\\ \text{and }d(x,t)+d(t,y) = d(x,y) \,. \end{array} $$
7. Esquema de continuidad

Nota: En Axioma de los cinco segmentos es un "reformulación" de la Postulado lado-ángulo-lado . Geometría del taxi es un ejemplo de geometría que satisface la mayoría (si no todos) de los axiomas de la geometría euclidiana, excepto el postulado Lado-Ángulo-Lado. Por consiguiente, el axioma de los cinco segmentos es necesario para que la noción de ángulo en la geometría euclidiana sea útil (isótropa).

El axioma de Euclides es una "reformulación" del Postulado Paralelo. Por tanto, tiene el mismo significado geométrico que el Postulado Paralelo, que supongo que usted conoce bien.

El axioma de la Pascua interior es equivalente al axioma de la Pascua (también llamado a veces axioma de la Pascua exterior), que también es equivalente al axioma de la Pascua exterior. Axioma de separación de planos . Es necesario evitar que los espacios realmente degenerados sean también modelos de la geometría euclidiana. La interpretación del significado geométrico del axioma es más fácil de entender cuando suponemos además que el espacio métrico es completo (véase más adelante, este caso también hace que el axioma 7 sea redundante): véase ici o ici .

Si suponemos además que el espacio métrico es (Cauchy) completa obtenemos el axioma completo de continuidad lógica de segundo orden (a la Hilbert) y una relación limpia con los números reales. Como resultado, El axioma 7 resulta redundante cuando suponemos un espacio métrico completo. Véase (1) (2) (3) .

Obsérvese también que el axioma de dimensión inferior, en el caso de que $n=2$ se simplifica a lo siguiente:

Dimensión inferior ( $n = 2$ ) : Existen puntos $a,b,c$ tal que: $$ \begin{array}{l} d(a,b)+d(b,c) < d(a,c) \,, \\ d(b,c)+d(c,a) < d(b,a) \, \\ d(c,a)+d(a,b)<d(c,b) \,. \end{array} $$

Dado que tres puntos son colineales si y sólo si uno de los puntos se encuentra entre los otros dos, esto equivale a la afirmación "existen tres puntos no colineales".

En el caso de $n = 1$ (que equivale a una caracterización esencialmente sin coordenadas de un espacio homeomorfo a un subcampo real cerrado de $\mathbb{R}$ o de un espacio homeomorfo a $\mathbb{R}$ si exigimos un espacio métrico completo) se tienen las siguientes versiones más sencillas de los axiomas de dimensión superior e inferior:

Axioma de dimensión inferior ( $n = 1$ ): Existen dos puntos distintos $a,b$ .

Axioma de la dimensión superior ( $n = 1$ ): Dados tres puntos $a,b,c$ al menos una de las siguientes es cierta: $$ \begin{array}{c} d(a,b)+d(b,c) = d(a,c)\\ d(b,c)+d(c,a) = d(b,a) \\ d(c, a)+d(a,b) = d(c,b) \end{array} $$ En otras palabras, tres puntos cualesquiera $a,b,c$ son colineales.

Para $n= 0$ todos los axiomas pueden sustituirse por un único axioma:

Axioma de la dimensión superior ( $n = 0$ ): Para cualquier punto $a,b$ se tiene que $a = b$ .

Answer 4

Axiomas del espacio métrico : Entre cada dos puntos $A$ y $B$ es una distancia $AB$ tal que:
Axioma 1 : Para todos los puntos $A$ : $AA = 0$ ,
Axioma 2 : Para todos los puntos $A$ y $B A$ , $AB > 0$ ,
Axioma 3 : ( Simetría ) Para todos los puntos $A$ y $B$ : $AB = BA$ ,
Axioma 4 : ( La desigualdad del triángulo ) Para todos los puntos $A$ , $B$ y $C$ : $AB + BC AC$ .

Axiomas euclidianos :
Axioma 5 : ( Divisibilidad infinita ) Cualquier distancia puede dividirse por cualquier número. Dados dos puntos cualesquiera $A$ y $B$ y cualquier número $N = 2, 3, 4, $ hay un punto $C$ tal que $$AC + BC = AB = N·AC.$$ Axioma 6 : ( Extensibilidad infinita ) Cualquier distancia puede multiplicarse por cualquier número. Dados dos puntos cualesquiera $A$ y $B$ y cualquier número $N = 2, 3, 4, $ hay un punto $C$ tal que $$AB + BC = AC = N·AB.$$ Axioma 7 : ( Teorema de Pitágoras generalizado ) Si $A$ , $B$ y $C$ son tres puntos tales que $AB + BC = AC$ entonces para cualquier punto $D$ : $$AB·CD^2 - AC·BD^2 + AC·AD^2 = AB·AC·BC.$$ Axioma 8 : ( El axioma contrazeno ) Dejemos $A_1, A_2, A_3, $ sea una secuencia de puntos tal que para todos los enteros $n > 1$ : $$A_n A_{n+1} ½ A_n A_{n-1}$$ entonces existe un punto $A$ tal que para todos los números enteros $n 1$ : $$A_n A 2 A_n A_{n+1}.$$

Para el axioma 8, estas secuencias pueden denominarse Secuencias de Zenón . El axioma afirma que en una Secuencia de Zenón siempre converge un punto que se encuentra a menos del doble de la distancia de cualquiera de sus segmentos. Toda sucesión de Cauchy tiene una subsecuencia de Zenón, y toda sucesión de Zenón es de Cauchy. Por tanto, las secuencias de Zenón sirven igual de bien (y mejor) que las secuencias de Cauchy.

Axiomas de dimensionalidad
Axioma 9 : ( $N^-$ ) No $N + 2$ puntos están igualmente distantes entre sí.
Axioma 10 : ( $N^+$ ) Existe $N + 1$ puntos igualmente distantes entre sí.

Los axiomas 1-10 proporcionan una descripción equivalente del espacio euclidiano contenido en $^N$ para cualquier $N = 1, 2, $ . Si estiras el significado de $0^+$ decir que existe al menos un punto, y el significado de $0^-$ decir que no existen dos puntos en absoluto, entonces esto también se aplica al caso $N = 0$ y al espacio euclidiano unidimensional.

Teorema 1 Existencia del operador afín $[A, r, B]$ .
Puntos determinados $A$ y $B$ y un número $r $ hay que demostrar que existe un único punto $C [A, r, B]$ tal que $AC = |r| AB$ y $BC = |1 - r| AB$ . Los axiomas 5 y 6 cubren el caso en que $r$ es racional, el axioma 8 rellena los huecos para el caso en que $r$ es irracional y el axioma 7 garantiza que el punto es único.

Estructura espacial afín
También puede demostrarlo: $$[A, 0, B] = A, [A, 1, B] = B$$ y $$[A, rt(1-t), [B, s, C]] = [[A, rt(1-s), B], t, [A, rs(1-t), C]].$$ Este operador, y estas tres propiedades, solo Resulta que equivalente axiomatización para espacios afines sobre campos de tamaño 4 o más, no sólo $$ . (Sobre campos de tamaño 3, estas 3 propiedades definen equivalentemente una conmutativa quandle ).

Estructura interna del espacio de productos
Elige cualquier punto $O$ . Defina $rA = [O, r, A]$ , $A + B = 2 [A, ½, B]$ , $<A, B> = ½(OA² - AB² + OB²)$ y utilizar el axioma 7 para demostrar que esto da lugar a un espacio vectorial con un producto interior. También se puede demostrar que $$[A, r, B] = (1 - r) A + r B.$$

Los axiomas 1-4, el axioma 7 y el teorema 1 definen equivalentemente los espacios de producto interno real.

Espacio métrico Zeno-Compleción
Para dos secuencias de Zeno cualesquiera $a = (a_n: n = 1, 2, )$ y $b = (b_n: n = 1, 2, )$ un número único $ab$ existe tal que $|a_n b_n - ab| 2\left(a_n a_{n+1} - b_n b_{n+1}\right)$ para todos $n = 1, 2, $ . Esto satisface todas las propiedades de los espacios métricos, excepto el axioma 2: $ab = 0$ es posible si $a b$ ; y también satisface el axioma 8. Es compatible al alza con la función de distancia del espacio métrico subyacente por la conversión de puntos $A$ a secuencias constantes $(A, A, A, )$ . Así, para espacios métricos que satisfacen sólo los axiomas 1-4, pero no el axioma 8, la reducción de las secuencias de Zeno por equivalencia módulo a la relación de distancia cero $ab = 0$ resulta en una extensión hacia arriba del espacio métrico original a uno que también satisface el Axioma 8: el Finalización de Zeno del espacio métrico, a falta de un nombre mejor.

Para ello no se requiere ninguno de los axiomas 5-7. Por lo tanto, los axiomas 1-4 y 8 definen equivalentemente espacios métricos completos.

Los axiomas 1-8 proporcionan una descripción equivalente de los espacios reales de Hilbert, ya que son espacios de producto interior, que son completos como espacios métricos.

Axiomas 1-4, 7 junto con los 3 axiomas, enumerados anteriormente, para espacios Affine, junto con la propiedad $$[A,r,B][A,r,C] = |r| BC$$ proporcionan una descripción equivalente de un espacio real de Banach, siempre que se elija un punto $O$ como su $0$ y define $|A| = AO$ para todos los puntos $A$ .