¿Puedes dividir el producto de dos funciones de dos variables en la suma de otras dos?

Question

Estoy intentando diseñar un conjunto de funciones para demostrar un algoritmo de control en el que estoy trabajando.

¿Existe un $(v(x), f(y), w(x), g(y))$ tal que $v\cdot w=f+g \; \forall (x,y)$ ? $x$ y $y$ son variables independientes. Por no trivial, me refiero a que las cuatro funciones no pueden ser simplemente constantes. Cada una de las funciones mapea escalares reales a escalares reales.

Answer 1

Si hay $b$ para que $w(b)=0$ entonces $f(x)+g(b)=v(x)w(b)=0$ esto implica $f(x)=-g(b)$ es una constante: es una solución "trivial".

Así que asuma $w(y)\neq 0$ para todos $y$ y de forma similar, $v(x)\neq 0$ para todos $x$ . Ahora $$ \frac{f(x_1)+g(y)}{f(x_2)+g(y)}=\frac{v(x_1)w(y)}{v(x_2)w(y)} =\frac{v(x_1)}{v(x_2)}, $$ Si $f(x_1)\neq f(x_2)$ esta ecuación implica $g(y)$ es una constante. Por lo tanto $f$ o $g$ es una constante. Así que sólo hay soluciones "triviales".