I) Ref. 1 se utiliza el término orientable vórtice en una situación específica, sin ofrecer una definición general. Sin embargo, en la situación específica, Ref. 1 considera dos casos:
Los vórtices son etiquetados con aditivo número cuántico $$n~\in~\mathbb{Z}.$$
($n=0$ corresponde a ningún tipo de vórtice.) Desde el signo de $n$ hace sentido físico, Ref. 1 llama a los vórtices orientable.
Los vórtices son etiquetados con aditivo número cuántico $$n~\in~ \mathbb{Z} \text{ mod } 2 ~\cong~\{0,1\}~\cong~\mathbb{Z}_2.$$ ($n=0\text{ mod } 2$ corresponds to no vortex.) Since the sign of $$ n no hace sentido físico, Ref. 1 llama a los vórtices no-orientable.
En cuanto a la Ref. 1 al final del Capítulo 2 "concluye" que
[...] no debe ser monopolos magnéticos,
debe probabilidades de no ser leído como una prueba matemática, sino simplemente como aperitivo/anuncio de que el próximo Capítulo 3 titulado monopolos Magnéticos, donde el mecanismo se explica.
II) nos Deja aquí un breve resumen de Capítulo 3 tanto como lo permita el espacio. Considerar clásica estática soluciones a un $SU(2)$ Yang-Mills teoría en 3+1 dimensiones temporales medidor de $A^a_0=0$, y con un campo de Higgs $\phi^{\alpha}$ transformando en una $SU(2)$ irrep $R:G\to GL(2I+1,\mathbb{F})$. El campo de Higgs $\phi^{\alpha}$ $2I+1$ componentes, donde $\alpha=1, \ldots, 2I+1$. Que nos llame a $I=\frac{1}{2}\mathbb{N}_0$ para el isospin. El medidor de potencial $A_i^a$ se transforma en el adjunto representación $Ad$, es decir, se $su(2)$valores. Aquí $i=1,2,3$ es un índice espacial, y $a=1,2,3$ es una Mentira álgebra índice. También hay un sombrero Mexicano potencial de la partícula de Higgs para garantizar un no-cero VEV. El $|D\phi|^2$ plazo debe desaparecer asintóticamente con el fin de tener energía finita, que a su vez fuertemente unen los comportamientos asintóticos del indicador potencial de $A_i^a$ y el campo de Higgs $\phi^{\alpha}$.
Identificamos $eI_3$ como el generador de la carga eléctrica. Sólo podemos analizar los campos en la región asintótica lejos del núcleo.
III) en el Caso de media-entero-isospin irreps. La irrep $R$ es complejo y fieles. El mínimo de cero carga eléctrica por medio entero irreps es $|e|/2$. La Dirac cuantización de estado de estados que la carga magnética debe ser un múltiplo de
$$\tag{A} g_m~=~\frac{2\pi}{|e|/2}~=~\frac{4\pi}{|e|}.$$
A continuación, el mecanismo de Higgs hace el full gauge potencial enorme y rompe todos los simetría gauge
$$\tag{B} G~=~SU(2)~\to~ H~=~\{\bf 1\}$$
No existen los monopolos
$$\tag{C} \pi_2(G/H)~\cong~ \{\bf 1\},$$
cf. por ejemplo, este mathoverflow post. Por lo tanto, no discutir este asunto en esta respuesta.
IV) en Caso de entero-isospin irreps. La irrep $R$ es real, es decir, la partícula de Higgs, $\phi^{\alpha}\in \mathbb{R}$ es un valor real. El núcleo de la irrep $R$ es
$$\tag{D} {\rm Ker}(R)~\cong~\{\pm {\bf 1}\}~\cong~\mathbb{Z}_2.$$
El mínimo de cero carga eléctrica por entero irreps es $|e|$. La Dirac cuantización de estado de estados que la carga magnética debe ser un múltiplo de
$$\tag{E} g_m~=~\frac{2\pi}{|e|}. $$
Tenga en cuenta que el centro de $SU(2)$ es
$$\tag{F} Z(SU(2))~=~{\rm Ker}(Ad)~\cong~\mathbb{Z}_2.$$
Esto significa que el doble de valor indicador de las transformaciones $\pm g\in SU(2)$ tiene un grupo bien definido de acción en el indicador de potencial de $A_i^a$ así como en el campo de Higgs $\phi^{\alpha}$ en el número entero irrep $R$. Por lo que el grupo gauge es efectivamente$^1$
$$\tag{G} SU(2)/\mathbb{Z}_2~\cong~ SO(3)~=~G,$$
y vamos a suponer que esta a partir de ahora.
Ahora, aparte de la región central $C\subset \mathbb{R}^3$ donde sea posible, los monopolos magnéticos se encuentran, se puede cubrir el resto de espacio de $\mathbb{R}^3\backslash C$ con un "Norte" y "Sur" coordinar gráfico, con un Norte y un Sur medidor de potencial, $A_{(N)i}^a$$A_{(S)i}^a$, respectivamente. El medidor de transformación entre los dos gráficos en la zona ecuatorial se superponen (que es homotopy equivalente a $S^1$) caracteriza (asintótico de las características de) la física multi-monopolo de configuración. Topológicamente, el ecuatorial medidor de transformación es un mapa de $S^1\to G$, y clasificado por el grupo fundamental de la $\pi_1(G)=\mathbb{Z}_2$.
V) Siguiente, la partícula de Higgs, se supone romper la simetría gauge
$$\tag{H} G~=~SO(3)~\to~ H~=~U(1),$$
de modo que sólo una Abelian medidor de potencial $A^3_i$ permanece sin masa. [Asumimos isospin $I\neq 0$. Para $I=1$ el grupo de isotropía $H=U(1)$ es automático. Para mayor entero-isospin, $H=U(1)$ sólo ocurre para los especiales VEVs con una mayor simetría, mientras que $H=\{\bf 1\}$ es genérica: no Existen los monopolos $\pi_2(G/H)\cong \{\bf 1\}$ genéricos VEVs.] Topológicamente, el ecuatorial medidor de transformación, a continuación, un mapa de $S^1\to H$, y clasificado por el grupo fundamental de la $\pi_1(H)=\mathbb{Z}$. Sin el fondo de los vórtices, las posibles configuraciones de la partícula de Higgs, se clasifican por
$$\tag{I} 2\mathbb{Z}~\cong~\pi_2(G/H)~\cong~ {\rm Ker}\left(\pi_1(H)\to \pi_1(G)\right) ~\subseteq~ \pi_1(H)~\cong~\mathbb{Z},$$
cf. Ref. 2. Por lo tanto sólo los múltiplos de la carga magnética en eq. (E) es posible. En 2+1 dimensiones de la imagen del Capítulo 2, nos permiten fondo entero de vórtices en la $x^3$-dirección, que no están obligados a vivir en la parte de eq. (Yo).
Para hacer contacto con el Capítulo 2, nota que el Capítulo 2 está considerando clásica estática soluciones a un $U(1)$ Yang-Mills teoría (aka. EM) en 2+1 dimensiones temporales medidor de $A^3_0=0$, y con un complejo de$^2$ escalar de Higgs $\phi^3$. Los campos no dependen de la $x^3$-dirección. En particular, el 2-dimensional $A^3_i$-vortex (2.6) debe ser identificado con una ecuatorial tubular gráfico en las 3 dimensiones de la imagen. Vórtices pueden ser vistos como grasa 1-dimensional de las cuerdas, mientras que los monopolos magnéticos se comporten como partículas.
Sin necesidad de ruptura de simetría de la $U(1)$ simetría, la imagen de arriba corresponde a la orientable vórtices (1) anterior.
VI) Finalmente, nos imaginamos que estamos, además, romper
$$\tag{J} U(1)~\to~ \{\bf 1\}.$$
A continuación, los monopolos magnéticos desaparece $\pi_2(G/\{\bf 1\})\cong \{\bf 1\}$, y los vórtices se convierte en el no-orientable vórtices (2) anterior, cf. $\pi_1(G)=\mathbb{Z}_2$.
Dependiendo de la escala de energías de los dos rupturas de simetría, el orientable vórtices (1) podría ser cuasi-estable antes de que se descomponen a la estable no-orientable vórtices (2), es decir, dos vórtices se puede ajustar, cf. Fig 2.7 y figura 2.8. Los restos de los dos vórtices constituyen dos cuasi-estable monopolos magnéticos, que tiene un flujo neto o flujo de salida de flujo magnético, respectivamente.
Referencias:
G. 't Hooft y F. Bruckmann, Monopolos, Instantons y el Confinamiento, arXiv:hep-th/0010225.
F. A. Bais, ser o no ser? Los monopolos magnéticos en no abelian calibre teorías, arXiv:hep-th/0407197. (Sombrero de punta: Cazador.)
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$^1$ Más adelante en la Sección 3.6, se introduce fermionic la materia, la cual se transforma en el elemento fundamental de la $SU(2)$, y que por lo tanto se distingue entre las $SO(3)$$SU(2)$.
$^2$ A comparar con el Capítulo 3, que se lleva a $\phi^{\alpha}$ como un ámbito real, tomamos $\phi^3$ a ser un auténtico campo, cf. nota a pie de página en la página. 15, aka. unitario indicador.
