Cardenal del Grupo Especial Ortogonal $SO_n\left(\mathbb{Z}/2^n\mathbb{Z}\right)$

Question

Sea $SO_n(R)$ sea el grupo de matrices con coeficientes en un anillo $R$ cuyo determinante es igual a $1$ .

Me acordé de una vieja pregunta formulada en un examen oral :

$$\text{What is the order of the group }SO_n(\mathbb{Z}/2^n\mathbb{Z}) \ ?$$

¿Hay alguna forma de contarlos? No veo la manera de resolver esta pregunta

Answer 1

Contemos la cardinalidad $c_n(m) $ de $C_n(m):= SO_m(\mathbb{Z}/2^n\mathbb{Z}) $ por inducción en $m$ . El caso base es fácil, ya que evidentemente $c_n(1) = 1$ . Consideremos ahora la acción de $C_n(m)$ en $(\mathbb{Z}/2^n\mathbb{Z}) ^m$ para $m\ge 2$ .

La observación clave es que el estabilizador de $e_1$ es precisamente $C_n(m-1) $ . Efectivamente, se tiene una matriz ortogonal con primera columna $(1 \ 0 \ldots \ 0) $ por lo que todas las demás columnas deben empezar por cero y el determinante del $(m-1) \times (m-1) $ matriz a la izquierda en la parte inferior derecha debe ser uno.

La órbita de $e_1$ en $SO_m$ son todos los vectores $$(x_1, \ldots, x_m) \in (\mathbb{Z}/2^n\mathbb{Z}) ^m \ : x_1^2+ \ldots + x_m^2 = 1 $$ pero hasta una raíz cuadrada de 1 en $\mathbb{Z}/2^n\mathbb{Z}$ . Denotemos este conjunto por $X_2(n)$ . Efectivamente, $O_m(\mathbb{Z}/2^n \mathbb{Z}) = SO_m(\mathbb{Z}/2^n \mathbb{Z}) \cdot X_2(n) $ de modo que la órbita bajo $O_m$ será la órbita bajo $SO_m$ veces la órbita bajo multiplicación escalar de $X_2(n) $ . No tengo ninguna idea efectiva en este momento para calcular $O_n(\mathbb{Z}/2^n\mathbb{Z}) e_1$ así que llamémoslo $K_{n, m}$ . La otra cantidad implicada - $X_2(n) $ es fácil de calcular: recordemos que el grupo multiplicativo de $ \mathbb{Z}/2^n \mathbb{Z}$ es isomorfo a $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \times (\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}) ^{n-2} $ para $n\ge 2$ de modo que los elementos de orden 2 son 4 si $n\ge 3$ , $n$ si $n\le 2$ .

Como la órbita y el estabilizador tienen producto igual a la cardinalidad del grupo, tenemos que

$$ c_n(m) = c_n(m-1) \cdot K_{n, m} /x_2(n) $$

Esto implica que

$$ c_n(m) =\left ( \prod_{r=2}^m K_{n, r} \right ) / (x_2(n) ) ^{m-1}$$

Un caso especial . En el caso de $n=1$ la ecuación de la esfera es particularmente sencilla, como lo sería en cualquier campo de características 2. En efecto, el cuadrado conmuta con la suma y tenemos

$$ (x_1+\ldots+x_m) ^2 = 1$$

lo que implica que la suma debe ser un elemento de $X_2(1) =\{1\}$ . Si elige la primera $m-1$ elementos como desee en 0,1, puede elegir de forma correcta $x_m$ de forma única para que la ecuación se cumpla. Esto demuestra que $K_{n, m}= 2^{m-1} x_2(1) $ de modo que

$$ c_1(m) = \prod_{r=2}^m K_{1, r} / (x_2(1) ) ^{m-1} = \prod_{r=2}^m 2^{r-1} = \boxed{ 2^{\binom{m}{2} }}$$

Editar. La última observación me hace sospechar que la pregunta original estaba en el campo de las características 2 $F_{2^n}$ para el que se cumple el último resultado pero con exponente $n\binom{m}{2} $ (¡el argumento es más o menos el mismo!).