¿Cuándo es una fibración un haz de fibras?

Question

En esta pregunta estoy utilizando las definiciones de Wiki para fibración et haz de fibras . Quiero ser general al plantear mi pregunta, pero me interesan sobre todo las variedades compactas lisas y las fibraciones lisas y la proyección de haces entre ellas. Bajo alguna suposición topológica suave sobre el espacio base (por supuesto verificada en el caso de los manifolds) un haz de fibras siempre da lugar a una fibración; así que en este contexto considero los haces de fibras como ejemplos particulares de fibraciones.

Mi pregunta: ¿en qué casos una fibración general resulta ser un haz de fibras?

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EDITAR: en este pregunta sobre MO, sugieren que probablemente es cierto que la proyección de una fibración suave es una inmersión. Alguien tiene una referencia / contraejemplo para esto?

Si esto resulta ser cierto, entonces podemos aplicar Ehresmann y obtenemos un haz de fibras (aquí me limito al caso de las variedades lisas compactas). Esto resolvería el problema, al menos en el caso que me interesaba.

Answer 1

Tienes razón. Si la fibración es suave y los espacios involucrados son compactos, entonces es un haz de fibras. Sólo para dejar claro lo que quiero decir con la fibración suave:

Definición. Un mapa suave $p\colon E \to B$ se dice que satisface la propiedad de elevación homotópica en la categoría suave si dado el siguiente diagrama conmutativo donde todos los mapas son suaves:

existe un mapa suave $\widetilde{F}$ suavizando el siguiente diagrama:

Definición. Se dice que un mapa suave es una fibración suave (Hurewicz) si satisface la propiedad de elevación homotópica en la categoría suave para todas las variedades $Y$ .

Definición. Se dice que un mapa suave es una fibración suave de Serre si satisface la propiedad de elevación homotópica en la categoría suave para todos los discos $I^n$ , $n\ge 0$ .

Ahora el idea de la prueba :

1) Una fibración (Serre) $p\colon E \to B$ donde $B$ está conectado por un camino y $E\neq \emptyset$ es suryectiva.

2) Una fibración suave (Serre) es una inmersión. Hice la pregunta y fue contestada ici .

3) La compacidad combinada con lo anterior garantiza que podemos aplicar Ereshmann, como has dicho, y ya está.

Observación. Esto funciona para fibraciones débiles o de Serre. No es necesario suponer que se trabaja con fibraciones de Hurewicz. Así que la respuesta es un poco más general que la pregunta que hiciste.

Espero que te sirva de ayuda. En cuanto al caso topológico (no suponiendo suavidad) me interesa mucho tu pregunta. Así que, con suerte, alguien arrojará algo de luz sobre este punto.