Supongamos que $A$ es un álgebra de Hopf semisimple con un anillo de caracteres conmutativo. ¿Se deduce que $A$ es cuasitriangular, es decir $\mathrm{Rep}(A)$ es una categoría tensorial trenzada?
Creo haber visto esta afirmación en un artículo sin pruebas hace mucho tiempo. Podría ser obvio, aunque no veo cómo construir un trenzado simplemente sabiendo la conmutatividad no functorial de los productos tensoriales.
Sebastian,
No, no es así.
En este documento (Ejemplo 6.14) demostramos que si una categoría de fusión Tambara-Yamagami admite un trenzado entonces su dimensión es una potencia de 2. Nótese que una categoría de fusión Tambara-Yamagami de Tambara-Yamagami tiene un anillo de Grothendieck conmutativo. Las álgebras de Hopf cuya categoría de representación es del tipo Tambara-Yamagami son clasificadas por Tambara (Representations of tensor categories with fusion rules of self-duality for abelian groups, Isr. J. Math. 118 (2000), 29-60). Por ejemplo, existe un álgebra de Hopf $A = k^9 \oplus M_3(k)$ (denominada álgebra de Kac-Paljutkin) con anillo de cromáter conmutativo y $Rep(A)$ sin admitir trenzado.
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