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Centro y vértice del triángulo

No puedo resolver este problema utilizando sintético geometría, sobre todo porque no tengo muchos conocimientos de otros tipos de geometría.

Sea I sea el incentro de \triangle{ABC}. Demostrar que para cualquier punto X, a \cdot AX^2 + b \cdot BX^2 + c \cdot CX^2 = (a + b + c) \cdot IX^2 + a \cdot AI^2 + b \cdot BI^2 + c \cdot CI^2.

Especifiqué sintético geometría porque intenté un bash de coordenadas de esto con vértices de \triangle{ABC} en los siguientes puntos:

\begin{align} A &= (a, 0) \\ B &= (b, 0) \\ C &= (0, c). \end{align}

Creo que son coordenadas muy fáciles de trabajar, pero las coordenadas para el incentro son horribles, y no quiero seguir adelante con esto porque no tengo tres días libres para trabajar en esto.

He hecho algunos comienzos:

Conozco el Teorema de Stewart: man + dad = bmb + cnc, pero no estoy seguro de cómo aplicarlo.

Conozco la ley de los cosenos, pero me salen valores de coseno desagradables y no sé cómo deshacerme de ellos.

Me gustaría pequeños consejos, pequeño primeros pasos en la dirección correcta. Sé que este es un lugar de preguntas y respuestas (o, en este caso, de problemas y soluciones), pero aún así quiero abordar el grueso del problema por mí mismo.


Sí, lo sé, este artículo cubre el teorema, pero entonces mi pregunta sería "¿qué son las coordenadas baricéntricas y cómo se utilizan?", ya que sólo conozco las coordenadas baricéntricas de nombre.

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Jesse Puntos 2103

Déjame intentarlo. Tenemos a\vec{IA} + b\vec{IB} + c\vec{IC} = \vec{0} .

Así que (a+b+c)\vec{IX} = a\vec{AX} + b\vec{BX} + c\vec{CX}.

Ahora tenemos aAX^2 + bBX^2 + cCX^2 = \sum a(\vec{AI} + \vec{IX})^2 = \sum aAI^2 + (a+b+c)IX^2 + 2(a\vec{AI} + b\vec{BI} + c\vec{CI})\vec{IX} = \sum aAI^2 + (a+b+c)IX^2.

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Roger Hoover Puntos 56

Puede utilizar el teorema del eje paralelo . Si suponemos que la masa de A es a la masa de B es b y la masa de C es c entonces a\cdot AX^2+ b\cdot BX^2 + c\cdot CX^2 es el (momento de) inercia del sistema formado por los puntos masivos A,B,C con respecto a un eje que pasa por X . El centro de masa de dicho sistema es el incentro de ABC .

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