Pregunta sobre gradientes

Question

Consideremos la siguiente función vectorial $y: \mathbb R^n \to \mathbb R$

$$y(\vec x) = y(x_1,x_2,\cdots,x_n)$$

¿Es correcto afirmar lo siguiente?

$$dy = \sum_{i=1}^{n}{\left(\frac{\partial y}{\partial x_i}\cdot dx_i\right)}$$

Y si es así, dado el gradiente $\nabla y$ definido por

$$\nabla y = \left( \frac{\partial y}{\partial x_1},\frac{\partial y}{\partial x_2},\cdots,\frac{\partial y}{\partial x_n} \right)$$

¿Sería también correcto decir esto?

$$dy = \nabla y\cdot d\vec x$$

Se agradece mucho.

Answer 1

Es más fácil verlo desde un punto de vista de aproximación, ampliemos $y(x)$ alrededor de algún punto $x_0$ usando términos de Taylor, entonces:

$$y(x)= y(x_0)+\nabla y^T(x-x_0)+(x-x_0)^TH(x-x_0)+hot(x)$$

donde $\nabla y$ es el gradiente y $H$ es la matriz hessiana (derivada de segundo orden) de $y(x)$ ambos evaluados en $x_0$ y $hot(x)$ son los términos de orden superior.

Ahora bien, si se toman los dos primeros términos como una aproximación de $y$ :

$$y(x)\approx y(x_0)+\nabla y^T(x-x_0)+(x-x_0)^TH(x-x_0)$$

$$\Rightarrow y(x)-y(x_0)\approx \nabla y^T(x-x_0)+(x-x_0)^TH(x-x_0)$$

deje $x \rightarrow x_0$ entonces sí: $$dy \approx \nabla y^Tdx+dx^THdx$$ en el límite $dx^THdx$ llega a cero mucho más rápido que $\nabla y^Tdx$ así que es verdad que..:

$$dy =\nabla y^Tdx$$

Utilizo una notación ligeramente diferente, pero espero que la entiendas.