Anillo Intercalado entre PID

Question

Si tengo tres anillos conmutativos $R \subset S \subset T$ tal que $R$ et $T$ son dominios ideales principales, ¿implicará esto que $S$ ¿es un dominio ideal principal?

Answer 1

Para la pregunta original, un contraejemplo sería $\Bbb Z \subseteq \Bbb Z[x]\subseteq \Bbb Q (x)$ .

El anillo del centro es noetheriano pero no es Bezout, y por tanto no es un anillo ideal principal.

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Si, como mencionas en el comentario, añadimos que $Frac(R)=Frac(T)$ entonces la imagen es diferente. Reuniendo todos los denominadores de fracciones de $R$ tumbado en $S$ se tiene un conjunto multiplicativo $M$ tal que $M^{-1}R=S$ . Es elemental demostrar que una localización de un anillo principal es principal, y la localización de un anillo Bezout es Bezout, por lo que $S$ tendrá cualquiera de estas propiedades si $R$ lo hace. En esta situación, $T$ no desempeña ningún papel.

Answer 2

$k[t^3]\subset k[t^2,t^3]\subset k[t]$ .