Secciones globales en familias planas adecuadas

Question

Estaba tratando de desentrañar los comentarios bajo la pregunta ¿Cuándo es cierto que el anillo de funciones regulares globales sobre una variedad proyectiva es sólo el anillo base? . Aparentemente se afirma que si un morfismo propio de presentación finita entre esquemas $X\rightarrow S$ es plano y tiene fibras geométricamente conectadas y reducidas, entonces el mapa natural $$ \mathcal{O}_S(S)\rightarrow \mathcal{O}_X(X) $$ es un isomorfismo. ¿Es cierto? Por el teorema de coherencia de Grothendieck el mapa es finito pero no estoy seguro de qué hacer a continuación.

Tal vez debería mencionar también que en mi libro el espacio vacío está conectado (esto probablemente no cambie nada). En realidad, el morfismo plano localmente de presentación finita es abierto https://stacks.math.columbia.edu/tag/01UA por lo que siempre que asumamos que $S$ está conectada las fibras serán no vacías.

Answer 1

Esto se deduce de Factorización de Stein : https://stacks.math.columbia.edu/tag/03H2

Sólo hay que observar que si las fibras son geométricamente conectadas y reducidas, entonces en la factorización de Stein $X\to S'\to S$ donde $S'\to S$ es finito, ese morfismo también tiene que tener fibras geométricamente conectadas y reducidas, lo que significa que debe ser un isomorfismo (cada fibra teórica de esquema es un esquema geométricamente conectado y reducido de dimensión cero, es decir, un punto reducido).