¿Por qué la norma de la matriz $||A||_1$ ¿Suma de columnas absoluta máxima de la matriz?

Question

Por definición, tenemos $$ \|V\|_p := \sqrt[p]{\displaystyle \sum_{i=1}^{n}|v_i|^p} \qquad \text{and} \qquad \|A\|_p := \sup_{x\not=0}\frac{||Ax||_p}{||x||_p} $$ y si $A$ es finito, cambiamos sup por max.

Sin embargo no entiendo muy bien cómo llegamos a la definición de $||A||_1$ como la máxima suma absoluta de columnas de la matriz, tal como se indica en Wikipedia

Por ejemplo, supongamos $A=\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22}\end{bmatrix}$ . Entonces $$ ||A||_1 = \max_{x\not=0} \frac{\left\|\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22}\end{bmatrix}\cdot \begin{bmatrix} x_{1} \\ x_{2}\end{bmatrix}\right\| }{\left\|\begin{bmatrix} x_{1} \\ x_{2}\end{bmatrix}\right\|} = \max_{x\not=0} \frac{|a_{11}x_1+a_{12}x_2|+|a_{21}x_1+a_{22}x_2|}{|x_1|+|x_2|} $$ Eso es lo que he obtenido hasta ahora, pero realmente no veo cómo esto está relacionado con el máximo de la suma de columnas. ¿Alguien puede ayudarme a explicar esto?

Answer 1

Denotemos las columnas de $A$ por $A_1,\, \dotsc,\, A_n$ . Entonces para cada $x \in \mathbb{R}^n$ tenemos

$$\begin{align} \lVert Ax \rVert_1 &= \left\lVert\sum_{\nu=1}^n x_\nu\cdot A_\nu \right\rVert_1\\ &\leqslant \sum_{\nu=1}^n \lVert x_\nu\cdot A_\nu\rVert_1\\ &= \sum_{\nu=1}^n \lvert x_\nu\rvert\cdot\lVert A_\nu\rVert_1\\ &\leqslant \max \left\{\lVert A_\nu\rVert_1 : 1 \leqslant \nu \leqslant n\right\} \left(\sum_{\nu=1}^n \lvert x_\nu\rvert\right)\\ &= \max \left\{\lVert A_\nu\rVert_1 : 1 \leqslant \nu \leqslant n\right\}\cdot \lVert x\rVert_1. \end{align}$$

Eso demuestra que

$$\lVert A\rVert_1 \leqslant \max \left\{\lVert A_\nu\rVert_1 : 1 \leqslant \nu \leqslant n\right\},$$

y eligiendo $x = e_m$ donde $m$ es el índice donde la suma absoluta de columnas tiene su máximo muestra la desigualdad inversa, por lo tanto la igualdad.