Osciladores acoplados

Question

Este es un ejercicio de mi último examen. Como no he podido encontrar a nadie que lo haya resuelto o sepa hacerlo, estaría muy bien que alguien me dijera si mis ideas al respecto van en la dirección correcta.

Dos osciladores armónicos pueden describirse mediante el Hamiltoniano

$\hat H_a + \hat H_b + \hat H_c$

donde

$\hat H_a = \hbar\omega(\hat a^\dagger \hat a + \frac{1}{2})$
$\hat H_b = \hbar\omega(\hat b^\dagger \hat b + \frac{1}{2})$

y el Hamiltoniano de acoplamiento es

$\hat H_c = \hbar\Omega(\hat a^\dagger \hat b + \hat b^\dagger \hat a)$

con $\Omega \ll \omega$

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a) Evalúe la relación de conmutación entre $\hat H_c$ y los operadores $\hat a^\dagger \hat a$ y $\hat b^\dagger \hat b$ .

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Esto no es un problema en absoluto, al menos cuando se conoce la relación de conmutación canónica. $[\hat H_c,\hat a^\dagger \hat a] = -[\hat H_c,\hat b^\dagger \hat b] = \hbar\Omega(\hat b^\dagger \hat a - \hat a^\dagger \hat b)$

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b) Dado que los dos osciladores son degenerados, ¿cuál es el significado de los cuatro operadores $\hat a^\dagger \hat a,\ \hat b^\dagger \hat b,\ \hat a^\dagger \hat a + \hat b^\dagger \hat b$ y $\hat a^\dagger \hat a - \hat b^\dagger \hat b$ en la evaluación del desplazamiento del nivel de energía resultante del acoplamiento.

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Vale, si las cosas conmutan significa que tienen estados propios simultáneos. Todos los operadores conmutan con $\hat H_a$ y $\hat H_b$ lo cual tiene todo el sentido del mundo porque son las soluciones de dos osciladores diferentes. Para evaluar el desplazamiento de energía que se produce debido al Hamiltoniano de acoplamiento necesito utilizar un operador que conmute con cada Hamiltoniano. En este caso sería el del número cuántico total $n_{tot} = n_a + n_b$ que es $\hat a^\dagger \hat a + \hat b^\dagger \hat b$ porque de (a) sé que conmuta. Entonces, si esto es correcto, con la parte (c) viene mi problema.

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c) Evalúe el desplazamiento de energía de primer orden para los estados

$\varphi_+ = (\varphi_{n_a}\varphi_{n_b - 1} + \varphi_{n_a-1}\varphi_{n_b})/\sqrt{2}$
$\varphi_- = (\varphi_{n_a}\varphi_{n_b - 1} - \varphi_{n_a-1}\varphi_{n_b})/\sqrt{2}$

donde $\varphi_{n_a},\varphi_{n_b}$ son los estados propios de $\hat H_a$ y $\hat H_b$ respectivamente.

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Para obtener el energyshift necesito enviar $\hat H_c$ en mis estados. Pero para utilizar estos estados propios con mi Hamiltoniano de acoplamiento tendría que reescribirlo ( $\hat H_c$ ) en términos de la energía total porque este operador sí conmuta y tendría estados propios simultáneos. Pero esto no funciona. Pensé que podría ser alguna expansión que necesito hacer porque uno debe calcular el desplazamiento de energía de "primer orden", pero esto podría ser porque el Hamiltoniano de acoplamiento es uno simplificado y no descubrí cómo expandir el operador de energía total.

¿Lo he entendido bien? Quizá alguien pueda darme una pista sobre cómo proceder.
Obtuve las ideas de cómo podría funcionar de la teoría de la perturbación.

Answer 1

Después de la parte (b) se escribe

"Para evaluar el desplazamiento de energía que se produce debido al Hamiltoniano de acoplamiento necesito utilizar un operador que conmute con cada Hamiltoniano".

Esto es más o menos cierto, pero una forma mejor de decirlo es que necesitas usar ESTADOS que son valores propios de operadores que conmutan con cada Hamiltoniano.

Es importante tener en cuenta la imagen física que sucede en la teoría de perturbaciones degeneradas. Digamos que hay un $N$ degeneración de pliegues. El Hamiltoniano no perturbado tiene un $N$ subespacio lineal dimensional de estados (es decir, un número infinito de estados) que tienen todos la energía $E$ . Todas las combinaciones lineales de estos estados tienen la misma energía antes de activar la perturbación. A continuación, la perturbación selecciona $N$ combinaciones lineales especiales de los estados, esas combinaciones lineales especiales acaban teniendo energías definidas, pero la $N$ diferentes combinaciones lineales especiales tendrán energías diferentes entre sí (habrá $N$ eigenvalores de energía tras activar la perturbación). Todas las demás combinaciones lineales de los estados, que antes eran eigenestados energéticos, dejarán de serlo tras activar la perturbación. Por tanto, es fundamental determinar el $N$ combinaciones lineales especiales que siguen siendo eigenestados energéticos después de activar la perturbación. ¿Cómo lo hacemos? Bien, digamos que se encuentra un operador que conmuta con el hamiltoniano libre y perturbador. Un estado propio de este nuevo operador será una combinación lineal particular de los estados propios de energía del hamiltoniano libre, ya que este operador conmuta con el hamiltoniano libre. Pero esta combinación lineal de estados también será un estado propio de energía del hamiltoniano libre + perturbador, porque el operador también conmuta con la perturbación. Así que los estados propios de este nuevo operador son las combinaciones lineales especiales que estás buscando.

No se trata de expresar el hamiltoniano perturbado en términos del hamiltoniano no perturbado. Se trata de evaluar la ecuación básica de perturbación de primer orden

\begin{equation} \delta E^{(1)} = \langle \varphi | V^{(1)} | \varphi \rangle \end{equation}

utilizando ESTADOS que son valores propios de operadores que conmutan con $V^{(1)}$ y $H_0$ .

Ha identificado un operador que conmuta con $V^{(1)}$ y $H_0$ en su problema (a saber $a^\dagger a + b^\dagger b$ ). Entonces, ¿son los estados de la parte (c) valores propios de ese operador? ¿Son estados propios de $a^\dagger a$ o $b^\dagger b$ ?

También intentaría expresar los estados $\varphi_{n_a}\varphi_{n_b}$ en términos de operadores de creación y aniquilación. Eso también podría ayudar a sugerir cómo evaluar el cambio de energía.