Es bien sabido que
$$\sum_{k=0}^{n-1} a \,r^{k} = a\frac{1-r^n}{1-r}$$
¿Existe una fórmula similar para sumar
$$\sum_{x=0}^{m} C^{n}_{x}p^{x}(1-p)^{n-x}$$
La razón por la que hago esta pregunta es porque estoy tratando de encontrar la mediana para $n=100$ y $p=0.15$ , a este a tengo que encontrar el valor de $m$ tal que
$$\sum_{x=0}^{m} C^{100}_{x}0.15^{x}0.85^{100-x}=\frac{1}{2}$$
Como no puedo marcar ni comentar, escribiré una breve respuesta.
Lo primero es lo primero (y para responder a tu pregunta), no existe la llamada forma cerrada. Su pregunta es muy similar a éste . ¿Qué opciones tiene ahora?
Por supuesto, puedes calcularlo con una calculadora, no te llevaría mucho tiempo, quizá media hora. Aunque sería aburrido.
Aquí son algunas pautas para una aproximación. Si utilizas como palabras clave algo como "distribución binomial aproximada", probablemente puedas incluso encontrar una fórmula para medir tu error y así averiguar rápidamente qué $m$ sería la correcta.
Si ya conoces un lenguaje de programación, no debería llevarte mucho tiempo. Si no, ¡este es un buen problema para empezar! De hecho, un problema similar fue la razón por la que empecé a programar, porque a veces las calculadoras no son suficientes. Lo que quiero decir es que aprender a programar es una inversión para futuros problemas. Python sería un buen comienzo en mi opinión, su página web incluso muestra una implementación de los números de Fibonacci para empezar.
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