Onda suave en forma de diente de sierra $y(x)=\cos(x-\cos(x-\cos(x-\dots)))$

Question

Consideremos una función recursiva infinita

$$y(x)=\cos(x-\cos(x-\cos(x-\dots)))$$

$$y=\cos(x-y)$$

Trazado de la función $y(x)$ implícitamente obtenemos una onda suave en forma de diente de sierra:

¿Se ha estudiado antes esta función? Por ejemplo, su derivada, la serie de Fourier u otras propiedades. Puede ser útil en electrónica u otras aplicaciones.

Puedo encontrar la expresión de su derivada en términos de $y$ y $x$ pero no sé cómo trazarlo eficazmente (sin tabularlo mediante una fórmula recursiva para $y$ ).

$$y'(x)=-\frac{\sin(x-y)}{1-\sin(x-y)}$$

Obtenemos la expresión correcta de los máximos y mínimos de la función. (Nótese que el primer máximo positivo está en $x=1$ y el primer mínimo está en $x=\pi-1$ que se confirma con el cálculo numérico).

Como la función es suave, la derivada debe ser finita en todas partes. ¿Significa esto que el denominador de esta expresión nunca puede ser igual a $0$ ?

Por cierto, la fórmula recursiva en sí no es una casualidad: he comprobado su convergencia numéricamente en Mathematica y parece converger para todos los valores. Sin embargo, para los valores cercanos a las 'líneas verticales' la convergencia es más lenta que para el resto.

Editar

La función no es suave, porque su derivada no está definida en $x=\frac{\pi}{2}+2\pi n$ y $y=0$ como señaló cardboard_box y como se puede ver en la expresión. Oh, sólo son tangentes verticales aparentemente

Actualización

Quería ilustrar las respuestas y comentarios tan útiles que me han dado hasta ahora.

En primer lugar, el mérito es de Lucian por presentarme la función Clausen (véase el primer comentario más abajo). Sin embargo, esta función no tiene tangentes verticales en ninguna parte, como se puede ver en el gráfico (he trazado Clausen utilizando su serie de Fourier, ya que es más fácil que la definición integral):

Por lo tanto, la función que he definido aquí es mucho más "de dientes de sierra".

Y por último, davik dio la forma paramétrica de la función y calculó su serie de Fourier, que trazo a continuación:

Puedes notar que he desplazado e invertido la función original al trazar estos gráficos. También podemos utilizar el seno en lugar del coseno si es necesario.

Ahora la última pregunta que quería hacer:

¿Alguien ha visto esta función en algún sitio? ¿Tal vez valga la pena hacer una descripción completa de sus propiedades y publicarla en algún sitio?

Answer 1

Obsérvese que el gráfico de esta función puede parametrizarse como $ x(t) = t + \cos(t)$ y $ y(t) = \cos (t)$

Por lo tanto, podemos usar esto para encontrar la mayoría de las cosas interesantes que quieras saber. En primer lugar, es una cizalla de la gráfica de $ y = \cos(x)$ por la matriz $$ \pmatrix{1 & 1 \\ 1 & 0} $$ Que te dicen los ceros y los máximos. Además, si quieres tangentes verticales, ya que $y'(t) = - \sin(t);~~ x'(t) = 1 - \sin (t)$ tienes tangentes verticales en $\frac{\pi}{2} + 2\pi k$ .

Si lo desplazamos a la derecha por $\frac{\pi}{2}$ entonces, mediante un cálculo bastante sencillo, junto con la definición de la función de Bessel, obtenemos que el coeficiente de la enésima serie sinusoidal de Fourier

$$b_n = \frac{2(-1)^nJ_n(n)}{n}$$ donde $J_n(x)$ es la función de Bessel del primer tipo.