Diferencia entre Deformación Retracción y Retracción

Question

Actualmente estoy leyendo el libro de Topología Algebraica de Hatcher. Estoy teniendo algunos problemas para entender la diferencia entre una retracción de deformación y sólo una retracción. Hatcher los define de la siguiente manera:

A deformación retracción de un espacio $X$ en un subespacio $A$ es una familia de mapas $f_t:X \to X$ , $t \in I$ tal que $f_0=\mathbb{1}$ (el mapa de identidad), $f_1(X)=A$ y $f_t|A=\mathbb{1}$ para todos $t$ .

A retracción de $X$ en $A$ es un mapa $r:X \to X$ tal que $r(X)=A$ y $r|A=\mathbb{1}$ .

¿Es la noción de tiempo la característica importante que diferencia ambas ideas? (Parece que la definición de retracción por deformación utiliza el tiempo en su definición, mientras que la de retracción no).

Se agradece cualquier información. Además, si alguien ha sugerido material de lectura adicional para ayudar con los conceptos de topología algebraica, que sería muy apreciada.

Answer 1

La diferencia entre una retractación y una retractación por deformación sí tiene que ver con la "noción del tiempo", como usted sugiere.

Aquí hay una gran diferencia entre los dos:

1) Para cualquier $x_0 \in X$ , $\{x_0\} \subset X$ tiene un repliegue. Elija $r : X \to \{x_0\}$ para ser el mapa único al conjunto de un punto. Entonces, ciertamente, $r(x_0) = x_0$ .

2) Sin embargo, $\{x_0\} \subset X$ sólo tiene retracción por deformación si $X$ es contraíble. Para ver, por qué, observe que tiene que haber una familia de mapas $f_t : X \to X$ tal que $f_0(x) = x$ , $f_1(x) = x_0$ y $f_{t}(x_0) = x_0$ para cada $t$ . Esto da una homotopía de $id_X$ al mapa constante en $x_0$ lo que hace que $X$ contractible.

De hecho, mostrar una deformación retraerse de $X$ en un subespacio $A$ siempre muestra que $A$ y $X$ son homotópicamente equivalentes, mientras que $A$ siendo un repliegue de $X$ es más débil. (Pero a menudo, ¡sigue siendo útil! Que dos espacios sean homotópicamente equivalentes es muy fuerte).

Answer 2

Como has observado, las dos nociones son diferentes: la deformación retracción es una familia continua de funciones continuas, es decir, una homotopía, mientras que una retracción es simplemente una función continua.

Una retracción es sólo un mapa que envía todo el punto de $X$ en $A$ fijando los puntos de $A$ .

Una deformación retracción como lo contrario es una familia de mapeos que fijan los puntos de $A$ pero eso es más: requerimos que la familia sea continua lo que significa que queremos que el mapa inducido $X \times I \to X$ enviando cada par $(x,t) \in X \times I$ a $f_t(x)$ es una función continua.

De todos modos, también hay otra forma de ver la retracción de la deformación y, más en general, las homotopías. Para cada espacio $Y$ podemos considerar el conjunto $Y^I=\mathbf{Top}(I,Y)$ el conjunto de trayectorias continuas en $Y$ y topologiza este conjunto con el topología compacto-abierta .

Dado que el espacio $I$ es localmente compacto un teorema general dice que hay una biyección $$\mathbf{Top}(X \times I , Y) \cong \mathbf{Top}(X,Y^I)$$ enviando cada mapa $F \colon X \times I \to Y$ en el mapa $\bar F \colon X \to Y^I$ que a cada $x \in X$ asocia la función continua $\bar F(x) \colon I \to Y$ tal que para $t \in Y$ $\bar F(x)(t)=F(x,t)$ (esta biyección es natural tanto en $X$ y $Y$ ).

Gracias a esta biyección, podemos definir una homotopía como una función continua en $\mathbf{Top}(X,Y^I)$ .

Si adoptamos este punto de vista, de las homotopías como mapeos continuos en espacios de trayectorias, una deformación retracción no es más que un mapeo que asocia a cada punto $x \in X$ un camino, comenzando en el punto $x$ y terminando en algún punto de $A$ . Cada trayectoria correspondiente a un punto es la trayectoria que sigue el punto durante la deformación de $X$ a $A$ .

De todos modos una retracción de deformación de $X$ a $A$ no es simplemente una homotopía: es también una homotopía relativa al subespacio $A$ entre la identidad y un mapa $r \colon X \to X$ tal que $r(X) \subseteq A$ . Mediante el requisito de que $r$ es homotópica a $1_X$ mediante una homotopía relativa a $A$ se deduce que $r$ debe ser una retracción: por definición, una homotopía relativa a $A$ envía cada punto de $A$ en el camino constante que conecta $a$ a $r(a)$ que deben ser iguales.

Esto significa que si $A$ es una deformación retraída de $X$ entonces $A$ también es un repliegue, de todas formas lo contrario no se cumple en general: un contraejemplo es considerar el mapa que envía a $S^1$ (el círculo) a un punto, esto es una retracción, pero no hay retracción de deformación de $S^1$ hasta cierto punto (para demostrarlo hay que trabajar un poco y construir algún invariante como el $\pi_1$ que se encuentra en el siguiente capítulo del libro).

Espero que esto ayude a entender las ideas y las diferencias de estos dos conceptos.