Fundamento lógico del cálculo centrado en variables

Question

Dado que el cálculo se originó mucho antes de nuestro concepto moderno de función, gran parte de nuestro lenguaje de cálculo sigue centrándose en las variables y sus interrelaciones en lugar de hacerlo explícitamente en las funciones. Por ejemplo, en la afirmación "Si $y=x^2$ entonces $\frac{dy}{dx}=2x$ las funciones $f$ y $f'$ permanecen sin nombre mientras que las variables $x$ y $y$ el centro de atención. Lo interpretamos como delicadeza de anotación, pero parece haber una importante diferencia filosófica entre lo que decimos y lo que queremos decir.

A veces me lo he preguntado: ¿Existe un fundamento lógico alternativo del Cálculo en el que las variables, las expresiones y las ecuaciones son las ideas centrales, y las funciones per se están implícitas?

Answer 1

Me gustaría argumentar en sentido contrario. La notación del siglo XVII que se sigue utilizando hoy en día es un batiburrillo sintáctico que perjudica enormemente tanto a los estudiantes como a sus profesores, a pesar de las afirmaciones sobre su utilidad (por parte de personas que nunca probaron una alternativa). Es en parte responsable de que el matemático medio de la calle no pueda describir coherentemente la noción de variable ligada, piense que no hay mucha diferencia entre $f$ y $f(x)$ y está dispuesto a creer que $\frac{\partial L}{\partial \dot q}$ es una notación sensata.

Las funciones como objetos matemáticos (en contraposición a las expresiones simbólicas) son fundamentales para el cálculo diferencial. Además, conceptos importantes como derivada, integral definida, operador diferencial, gradiente, etc., son a su vez funciones de orden superior (toman funciones como argumentos).

Permítanme mencionar dos modernas exploraciones fundacionales del análisis.

En primer lugar está Geometría diferencial sintética (material de lectura introductorio aquí / archivo y aquí / archivo ) cuyas características distintivas son que calcula con infinitesimales nilpotentes y que se pueden formar espacios de funciones arbitrarios a voluntad (mientras que en el análisis clásico formar un espacio de funciones es siempre una Gran Cosa). Esto hace que ciertas definiciones muy fácil. Por ejemplo, el haz tangente de $M$ es simplemente el espacio de la función $\Delta \to M$ donde $\Delta = \lbrace x \in R \mid x^2 = 0\rbrace$ es el espacio de los infinitesimales (de orden 2). Y ni siquiera importa qué $M$ la definición tiene sentido, tanto intuitiva como técnicamente. El enfoque clásico del análisis requiere todo un edificio sólo para poder definir el haz tangente. Es demasiado complicado para el estudiante medio.

Un fundamento del cálculo que se basa más directamente en las funciones es la diferencial $\lambda$ -cálculo / archivo (introducción aquí / archivo ). En $\lambda$ -cálculo es la teoría de las funciones. Por ejemplo, los lenguajes de programación funcionales se basan en ella. El diferencial $\lambda$ -el cálculo es un enriquecimiento de $\lambda$ -con operadores diferenciales (abstractos).

Así que, aunque estoy seguro de que alguien ha cocinado un fundamento de cálculo basado en funciones evasoras, la flecha del progreso apunta en dirección contraria.

Answer 2

He aquí otro enfoque, que creo que aprendí por primera vez de Toby Bartels. Supongamos que $X$ es una variedad arbitraria diferenciable (piense en el espacio de estados de algún sistema físico), y defina un variable (también podría decirse "observable") sea una función suave de valor real sobre $X$ . Si $x:X\to \mathbb{R}$ es una "variable" de este tipo, entonces su diferencial es, como es habitual en geometría diferencial, una función suave ${\rm d}x:T X \to \mathbb{R}$ en el haz tangente de $X$ . También tenemos el mapa tangente $T x : T X \to T\mathbb{R} \cong \mathbb{R}\times\mathbb{R}$ con $T x = (x, {\rm d}x)$ .

Si $y:X\to \mathbb{R}$ es otra de esas "variables", entonces podría estar relacionada con $x$ mediante una ecuación como $y = x^2$ o $x^2 + y^2 = 4$ . Siendo igualdades de funciones de valor real, éstas son puntualmente Igualdad. Si $y= x^2$ entonces podemos decir que " $y$ es función de $x$ "en el sentido de que existe una función $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ tal que $y = f\circ x$ a saber $f = \lambda u. u^2$ (véase esta pregunta ). En este caso, la regla de la cadena de la geometría diferencial nos dice que $T y:T X \to T \mathbb{R}$ es el compuesto $T X \xrightarrow{T x} T \mathbb{R} \xrightarrow{T f} T \mathbb{R}$ . Desde $T f (u,v) = (f(u), f'(u) \cdot v)$ esto significa que (además de $y = f\circ x$ ) tenemos ${\rm d}y = f'(x) \cdot {\rm d}x$ . Se trata de una simple igualdad puntual de funciones $T X \to \mathbb{R}$ por lo que podemos dividir por ${\rm d} x$ (al menos suponiendo que nunca sea cero) para obtener $f'(x) = \frac{{\rm d}y}{{\rm d}x}$ o en este caso $\frac{{\rm d}y}{{\rm d}x} = 2x$ .

Del mismo modo, si $x^2+y^2=4$ entonces $y$ no es función de $x$ en este sentido, sino $x^2+y^2$ y $4$ son dos funciones suaves $X\to \mathbb{R}$ donde el primero se expresa como un compuesto $$X\xrightarrow{(x,y)} \mathbb{R}\times\mathbb{R} \xrightarrow{\lambda u v. u^2+v^2} \mathbb{R}.$$ Así, la regla de la cadena de la geometría diferencial nos da de nuevo $2 x \,{\rm d}x + 2 y \,{\rm d}y = 0$ como una igualdad puntual de funciones $T X \to \mathbb{R}$ de modo que podemos resolverlo como en cálculo elemental para obtener $\frac{{\rm d}y}{{\rm d}x} = -\frac{x}{y}$ .

Answer 3

Todos los sistema de álgebra computacional Los enfoques del cálculo, cada vez más extendidos y potentes, aunque imperfectos, me parecen ejemplos paradigmáticos del tipo de fundamentos que mencionas. Estos sistemas, al menos los que yo tengo en mente, son completamente sintácticos, trabajan por necesidad explícitamente con las cadenas sintácticas utilizadas para representar las distintas funciones, es decir, con las variables, expresiones y ecuaciones como objetos sintácticos, en lugar de con los objetos matemáticos abstractos que estas cadenas representan para nosotros. En concreto, los sistemas tienen que lidiar con todo tipo de cuestiones, como las variables libres y ligadas y los tipos de variables, y todo tipo de irritantes cuestiones sintácticas relacionadas con la sustitución y la composición y demás, que los matemáticos solemos preferir pasar por alto sin detenernos. En el fondo, sin embargo, el desarrollo de estos sistemas de álgebra computacional ha requerido que los desarrolladores formulen una base sintáctica exactamente del tipo que usted busca. El significado real de las expresiones, los objetos matemáticos abstractos, están implícitos en el funcionamiento de los sistemas.

Answer 4

En uno de mis comentarios en el otro hilo ( este otro hilo), había mencionado algunas debate en el $n$ -Categoría Café sobre un diferencial $\lambda$ -cálculo (por lo que parece, diferente al que se alude en la respuesta de Andrej Bauer, aunque sólo lo he mirado brevemente). Intentaré esbozar algo aquí, ya que parece relevante.

Modelos categóricos de tipado $\lambda$ -son categorías cartesianas cerradas, y la idea era contemplar la categoría cartesiana cerrada universal (es decir, inicial) que viene equipada con

• Un objeto de anillo conmutativo $R$ (los productos finitos bastan para describir lo que se entiende por un objeto de anillo conmutativo),

• Un operador de diferenciación $D\colon R^R \to R^R$ (aquí $R^R$ es el "objeto del espacio de funciones" cuya existencia viene dada por el cierre cartesiano; los elementos de $R^R$ corresponden a morfismos $R \to R$ ), satisfaciendo todas las propiedades formales esperadas de la diferenciación (regla del producto, regla de la cadena, etc.).

Esta categoría universal cartesiana cerrada puede construirse sintácticamente y podría denominarse "la $\lambda$ -teoría del cálculo de bachillerato"; lo llamaré $\mathit{Diff}$ . A modelo de esta teoría es por definición una categoría cartesiana cerrada $C$ junto con un functor $S\colon \mathit{Diff} \to C$ que preserva la estructura cartesiana cerrada hasta el isomorfismo (es decir, los mapas de comparación canónicos $S(a \times b) \to S(a) \times S(b)$ y $S(a^b) \to S(a)^{S(b)}$ deben ser isomorfismos). Si la categoría receptora $C$ consiste en estructuras concretas y mapas que preservan la estructura, entonces se podría llamar a tal modelo una "semántica denotacional" de $\mathit{Diff}$ .

Ahora bien, no existe una semántica denotacional $S\colon \mathit{Diff} \to Set$ que toma el objeto $R$ a los reales $\mathbb{R}$ como anillo conmutativo. En otras palabras, no existe ningún operador $D\colon \mathbb{R}^{\mathbb{R}} \to \mathbb{R}^{\mathbb{R}}$ que satisfaga todas las formal propiedades de diferenciación. Pero, hay otros topos $C$ de interés además de $Set$ que sí admiten tal semántica, donde se puede disponer el objeto anillo conmutativo $R$ en $C$ de modo que sus elementos $1 \to R$ corresponden exactamente a números reales. Hay cierta flexibilidad en lo que uno puede organizar morfismos generales $R \to R$ ser ciertamente no corresponderán a todas las funciones $\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ pero se pueden obtener varias subclases interesantes de funciones (para las que el operador de diferenciación modelado $D$ coincide con la habitual). Por ejemplo:

• Si $C$ es el topos de functores $CAlg_{fp} \to Set$ donde $CAlg_{fp}$ es la categoría de las conmutativas finitamente presentadas $\mathbb{R}$ -entonces $\hom(R, R) \cong \mathbb{R}[x]$ es el conjunto de funciones polinómicas sobre $\mathbb{R}$ .

• Si $C$ es el topos de functores $C^{\infty}Alg_{fp} \to Set$ donde $C^{\infty}Alg_{fp}$ es la categoría de las $C^{\infty}$ -(véase aquí para las definiciones), entonces $\hom(R, R)$ es isomorfo al anillo de $C^{\infty}$ -funciones $\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ .

Hubo varias reflexiones más al respecto, bajo el epígrafe de "modelos de globos de nieve" como modelos "sentados dentro de $Set$ como un universo en miniatura", como se aquí .