Método de las características para sistemas de EDP (frente al ejemplo de Lewy)

Question

Pregunta principal: ¿Cómo se generaliza el método de las características para sistemas de la EDP de primer orden, en contraposición a la EDP escalar? Es decir, ¿existe tal generalización y, en caso afirmativo, qué información puede proporcionar (por ejemplo, fórmulas implícitas de solución, existencia local, etc.)? Además, ¿existen referencias sobre este asunto?

Pregunta corolario/motivación: El método de las características proporciona un resultado de existencia local para EDP escalares de primer orden. El ejemplo de Lewy de una EDP sin soluciones en ningún conjunto abierto (tal como se presenta en wiki ejemplo ) también es de primer orden. Es de suponer que el fracaso del resultado de existencia local antes mencionado aquí se debe al hecho de que el ejemplo de Lewy es efectivamente un sistema formado por las partes real e imaginaria de u, ¿correcto? Así que cualquier generalización del método de las características a los sistemas debe ser bastante menos eficaz que la versión escalar...

Más motivación: El método de las características proporciona una forma muy útil de resolver numéricamente leyes de conservación escalares y ecuaciones de Hamilton-Jacobi. Si existe una generalización del método de las características a los sistemas, ¿proporciona herramientas igual de potentes para resolver numéricamente sistemas de EDP?

Answer 1

Cualquier ecuación diferencial parcial puede escribirse como un sistema de primer orden, así que básicamente lo que preguntas es cómo generalizar el método de las características a EDP y sistemas generales. Como ya has observado, en general no tiene solución. Sin embargo, hay algunas cosas que se pueden decir.

Para las EDP y los sistemas generales, la noción de superficies características desempeña un papel crucial, que puede considerarse un sustituto de las curvas características. Además, cuando estudiamos la asintótica de alta frecuencia de (o cómo se propagan las singularidades en) una EDP lineal general, nos vemos abocados a una ecuación de primer orden totalmente no lineal (del tipo Hamilton-Jacobi), que puede resolverse por el método de las características. Las "curvas características" que surgen se denominan bicharacterísticas que, por supuesto, se encuentran en un espacio de mayor dimensión (con el doble de dimensión que el espacio de variables independientes). Las bicaracterísticas refinan la noción de superficies características y son especialmente importantes para las ecuaciones hiperbólicas y dispersivas, y existen muchos métodos numéricos basados en esta estructura. Básicamente, lo que esto significa es que para resolver la ecuación de ondas, se parte de la óptica geométrica, o para resolver la ecuación de Schrödinger, se parte de la mecánica clásica. En el aspecto analítico, esta idea acabó dando lugar a la poderosa técnica de los operadores integrales de Fourier.

Otra cosa que quería mencionar es que en 1 dimensión espacial, si tu sistema (hiperbólico) es lo suficientemente simple, localmente se vería como una colección de ecuaciones escalares de primer orden, y puedes usar el método de las características por componentes.