Si los conjuntos $A_i$ son todas contablemente infinitas, entonces el producto $A$ también es contablemente infinito. El argumento es el siguiente: si el producto $A$ es contablemente infinito, entonces se pueden enumerar todos los elementos de $A$ como una secuencia contable como ésta:
$$x_1=\langle a_1, b_1,c_1,d_1,\ldots\rangle\\ x_2=\langle a_2, b_1,c_1,d_1,\ldots\rangle\\ x_3=\langle a_1,b_2,c_1,d_1,\ldots\rangle\\ x_4=\langle a_2,b_2,c_1,d_1,\ldots\rangle\\\vdots$$
(El orden exacto no importa; lo único que importa es que todos los elementos en $A$ aparecen en esta secuencia, por asunción).
Puede utilizar un argumento diagonal para definir un miembro de $A$ que no aparece en esta lista. Como se supone que la lista contiene todos los elementos de $A$ será una contradicción; por lo tanto $A$ es incontable.
Definir el miembro $y=\langle a,b,c,d,\ldots\rangle \in A$ como sigue. Para el primer elemento de $y$ elija un elemento de $A_1$ que es diferente del primer elemento de $x_1$ . Esto garantiza que $y\neq x_1$ . Para el segundo punto de $y$ elija un elemento de $A_2$ que es diferente del segundo elemento de $x_2$ . Esto garantiza que $y\neq x_2$ . Y así sucesivamente.
El miembro resultante $y$ es miembro del producto $A=A_1\times\ldots$ porque elegimos su primer elemento de $A_1$ su segundo elemento de $A_2$ etc. Sin embargo, $y$ es diferente de cada elemento de la lista contable de $x_i$ . (Cada $x_i$ tiene un $i$ ª posición). Por lo tanto $y$ es miembro de $A$ que se perdió por la enumeración contable. Por lo tanto, $A$ es incontable.
Se puede extender este argumento al caso en que la mayoría, pero no todos, los $A_i$ son infinitas. $A$ será incontable siempre que haya infinitas $A_i$ son infinitas. Por lo demás, $A$ será contablemente infinita.
