La forma del subgrupo de un abeliano finito $p$ -grupo

Question

Sea $G\cong \Bbb{Z}_{p^{r_1}}\oplus\Bbb{Z}_{p^{r_2}}\oplus\cdots \oplus \Bbb{Z}_{p^{r_s}}$ sea un abeliano finito $p$ -grupo, donde $r_1\geq r_2\geq \cdots \geq r_s\geq 1$ . Sea $H\cong \Bbb{Z}_{p^{t_1}}\oplus\Bbb{Z}_{p^{t_2}}\oplus\cdots \oplus \Bbb{Z}_{p^{t_u}}$ sea un subgrupo de $G$ , donde $t_1\geq t_2\geq \cdots \geq t_u\geq 1$ .

Demostrar que $s\geq u$ y $r_i\geq t_i$ para cada $i=1, 2, ..., u$ .

Parece obvio. Pero no puedo probarlo. Gracias por cualquier ayuda.

Answer 1

Por el Lemma II.2.5 del Álgebra de Hungerford, $$H[p]=\overbrace{\Bbb{Z}_p\oplus \cdots \oplus \Bbb{Z}_p}^{u\text{ times}}$$ es un subgrupo de $$G[p]=\overbrace{\Bbb{Z}_p\oplus \cdots \oplus \Bbb{Z}_p}^{s\text{ times}}$$ Nótese que ambos son grupos abelianos elementales. Véanse como $\Bbb{Z}$ -módulo. Dado que $G[p]$ y $H[p]$ son aniquilados por el ideal $\langle p\rangle$ en $\Bbb{Z}$ , podemos ver $G[p]$ y $H[p]$ como espacio vectorial sobre $\Bbb{Z}/\langle p\rangle\cong \Bbb{Z}_p$ . (Véase el ejemplo (5) en la página 338 de Álgebra Abstracta de Dummit y Foote). Por lo tanto, $H[p]$ es un subespacio de $G[p]$ en $\Bbb{Z}_p$ y $u=\dim_{\Bbb{Z}_p}H[p]\leq \dim_{\Bbb{Z}_p}G[p]=s$ .

Ahora, podemos escribir $H\cong \Bbb{Z}_{p^{t_1}}\oplus\Bbb{Z}_{p^{t_2}}\oplus\cdots \oplus \Bbb{Z}_{p^{t_u}}\oplus \Bbb{Z}_{p^{t_{u+1}}}\oplus \cdots \oplus \Bbb{Z}_{p^{t_s}}$ , donde $t_{u+1}=\cdots =t_s=0$ . Supongamos que $r_j<t_j$ para algunos $j\in \{1, 2, ..., s\}$ . En este caso por el Lemma II.2.5 de nuevo, $$p^{r_j}H\cong \Bbb{Z}_{p^{t_1-r_j}}\oplus\Bbb{Z}_{p^{t_2-r_j}}\oplus\cdots \oplus \Bbb{Z}_{p^{t_j-r_j}}$$ es un subgrupo de $$p^{r_j}G\cong \Bbb{Z}_{p^{r_1-r_j}}\oplus\Bbb{Z}_{p^{r_2-r_j}}\oplus\cdots \oplus \Bbb{Z}_{p^{r_{j-1}-r_j}}.$$ Lo cual es imposible porque la longitud de $p^{r_j}H$ es mayor que $p^{r_j}G$ .

Answer 2

Pista: Cuenta cuántos elementos de orden $p^d$ hay en cada uno de $G$ y $H$ para cada $d\in\mathbb{N}$ . Desde $H$ es un subgrupo de $G$ el recuento de $H$ debe ser menor o igual que el recuento de $G$ .