álgebra de banach, el radio espectral

Question

Sea A un álgebra de banach con identidad y $a \in A$ .

el radio espectral $a$ : $r(a)= sup \{ \lambda : \lambda \in \sigma(a)\}$

a) si $A$ es un álgebra de banach abeliana, $a,b \in A$ ¿Son correctos los siguientes términos? $r(ab) \leq r(a) r(b) \\ r(a+b) \leq r(a) +r(b)$

b) decir que el mapa $r:A\longrightarrow\mathbb{R}\\a\mapsto r(a)$ ¿es semicontínuo superior?

Answer 1

En esta respuesta sabemos que $$r(x)=\inf\{\Vert x^n\Vert^{1/n}:n\in\mathbb{N}\}$$ Así que de ce poste obtenemos la respuesta para a). Las funciones $f_n(x)=\Vert x^n\Vert^{1/n}$ son continuas y a fortiori semicontinuas superiores. Por lo tanto, a partir de ce poste sabemos que su mínimo (que en realidad es $r(x)$ ) también es semicontinuo superior. Esto responde a b).

Answer 2

$\newcommand{fs}[1]{\lVert #1\rVert}$ Sin pérdida de generalidad, supongamos $A$ es un álgebra de Banach abeliana unital (es decir $\lVert 1\rVert=1$ ). El teorema de la representación de Gelfand establece que $r(a)=\lVert \hat{a}\rVert_{\infty}$ (véase el teorema 1.3.6 en el libro de Murphy $C^*$ -álgebra y Teoría de Operadores), Por lo tanto, $$\begin{align*} &r(a+b)=\lVert\widehat{a+b}\rVert_\infty=\fs{\hat{a}+\hat{b}}_\infty\leq\fs{\hat{a}}_\infty+\fs{\hat{b}}_\infty=r(a)+r(b),\\ &r(ab)=\lVert\widehat{ab}\rVert_\infty=\fs{\hat{a}\hat{b}}_\infty\leq\fs{\hat{a}}_\infty\fs{\hat{b}}_\infty=r(a)r(b) \end{align*}$$ Mi respuesta a (b) es igual que la otra.