Probar un conjunto $E$ que satisfaga que $m^*(E\cap(a,b))<b-a$ para todos $(a,b)$ tiene medida de Lebesgue nula.

Question

Sea $m^*$ denotan la medida exterior correspondiente a la medida de Lebesgue sobre $\mathbb{R}$ es decir,

$$m^*(A)=\inf\{\sum_{n=1}^\infty l(I_n):A\subset\bigcup_{n=1}^\infty I_n\},$$

donde $A\subset\mathbb{R}$ , $I_n\subset\mathbb{R}$ es un intervalo abierto acotado para $n=1,2,\dots$ y $l((a,b))$ es la longitud del intervalo $(a,b)$ .

Sea $0<\rho<1$ . Prueba de que si $E\subset\mathbb{R}$ y para todos los intervalos $(a,b)$ tenemos que $m^*(E\cap(a,b))\leq\rho(b-a)$ entonces $E$ tiene medida de Lebesgue nula.

Normalmente, añadiría algunos comentarios y reflexiones sobre la pregunta, pero estoy bastante atascado en esta.

Answer 1

Supongamos en primer lugar que $E$ está acotada (por lo que $m^*(E)<\infty$ ) y que $m^*(E)>0$ . Sea $\varepsilon>0$ . Entonces existe $I_n$ tal que $E\subset\bigcup_{n=1}^\infty I_n$ y $$\sum_{n=1}^\infty l(I_n)\le m^*(E)+\varepsilon\le \sum_{n=1}^\infty m^*(E\cap I_n)+\varepsilon\le \rho \sum_{n=1}^\infty l(I_n)+\varepsilon,$$ lo que implica que $$(1-\rho)\sum_{n=1}^\infty l(I_n)\le \varepsilon.$$ Nótese que hemos utilizado el hecho de que la serie es convergente. De ello se deduce que $$(1-\rho)m^*(E)\le \varepsilon$$ y así dejar $\varepsilon\to 0$ obtienes $m^*(E)=0$ .

Si $E$ no está acotado, se aplica el argumento anterior a $E\cap (k-1,k]$ para cada $k$ .

Answer 2

El Teorema de la Densidad de Lebesgue establece que $m^*$ -casi todos los puntos de $E$ es un punto de densidad, donde

$x\in E$ es un punto de densidad $\Leftrightarrow\liminf_{y\downarrow x}\frac{m^*(E\cap(x,y))}{y-x}=1$ y $\liminf_{y\uparrow x}\frac{m^*(E\cap(y,x))}{x-y}=1.$

Así pues, basta con demostrar que $E$ no tiene puntos de densidad, pero esto es trivial porque por hipótesis

$\limsup_{y\downarrow x}\frac{m^*(E\cap(x,y))}{y-x}\le \rho<1$ y $\limsup_{y\uparrow x}\frac{m^*(E\cap(y,x))}{x-y}\le \rho<1.$