Desigualdad general de triángulos, distancia de un punto a un conjunto

Question

Estoy tratando sin suerte de probar:

Sea $(X,d)$ sea un espacio métrico y $A$ un subconjunto no vacío de $X$ . Para $x,y\in X$ , demuestre que $$d(x,A) < d(x,y) + d(y,A)$$

Answer 1

Si tiene $\leq$ en lugar de $<$ entonces sí:

$d(x,A) = \inf_{z\in A} d(x,z)$ . Ahora, digamos $z_0\in A$ y $y\in X$ . Entonces $d(x,z_0)\leq d(x,y) + d(y, z_0)$ . Tomando el mínimo de todos los $z\in A$ del lado izquierdo, obtenemos

$$ d(x, A) = \inf_{z\in A}d(x,z) \leq d(x,z_0) \leq d(x,y) + d(y, z_0). $$

Observe que $d(x, A)$ es ahora independiente de $z_0$ . Por lo tanto, tomando el mínimo de todos los $z$ en $A$ del lado derecho, obtenemos:

$$ d(x,A) \leq d(x,y) + \inf_{z\in A}d(y,z) = d(x,y) + d(y, A). $$